Предел функций

Задание 1. Найти предел последовательности: [pic 1].

Решение:

1. Исходная последовательность является рациональной дробью, поэтому ее предел определяется как отношение коэффициентов при старших степенях [pic 2].

[pic 3]

Задание 2. Найти предел последовательности: [pic 4].

Решение:

1. Непосредственное применение предела к исходной последовательности дает неопределенность типа [pic 5]. Преобразуем исходную последовательность так, чтобы избавиться от этой неопределенности, а именно умножим и разделим общий член последовательности на выражение:, тогда в числителе получим разность квадратов и проведем преобразования: [pic 6][pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

1. Теперь под знаком предела находится рациональная дробь, ее предел равен коэффициентам при старшей степени [pic 10] в числителе и знаменателе. В числителе имеем [pic 11], в знаменателе –  [pic 12], кроме того, учтем, что в знаменателе выражение содержит сумму корней, следовательно:[pic 13]

[pic 14]

Задание 3. Найти предел последовательности: [pic 15].

Решение:

1. Приведем исходную последовательность к виду: [pic 16], предел которой, как мы знаем, при любом [pic 17] равен [pic 18]. Для этого разделим на [pic 19] почленно числитель:

[pic 20]

1. Сделаем замену  , тогда:[pic 21]

[pic 22]

1. Под знаком внешней степени находится предел числа [pic 23]. Сам показатель внешней степени представляет собой рациональную дробь, предел которой также можно определить:

[pic 24]=[pic 25]

Задание 4. Написать в простейшей форме общий член ряда: [pic 26].

Решение:

1. Распишем заданные члены ряда, выделяя в их выражениях номер члена:

, откуда общий член: .[pic 27][pic 28]

Задание 5. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

[pic 29].

Решение:

1. Сравним исходный ряд с геометрическим рядом при , то есть с рядом , откуда имеем ,.[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

Так как геометрический ряд сходится, и каждый член исходного ряда меньше его членов, то на основании признака сравнения делаем вывод, что исходный ряд сходится.  Ответ: исходный ряд сходится.