Предел функции

1.4. Предел функции

1. Нахождение предела функции с использованием заме- чательных пределов.

ТЕОРИЯ

Определение предельной точки. Точку p R называют предель- ной точкой (или точкой сгущения) множества X  R, для любого r > 0 существует отличная от p точка x  X такая, что x  p < r. Говорят, что[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

+        (соответственно        ) является предельной точкой множества X        R, если для любого r найдется такое x        X, что x > r (соответственно x < r). Говоря о пределе функции в конечной или бесконечной точке, всегда,[pic 5][pic 6]

не оговаривая каждый раз, будем предполагать, что эта точка предельная для области определения функции.

Пусть даны функция f и точка a R, предельная точка области ее определения.[pic 7]

Определение конечного предела в предельной точке. Число l ∈ R называют пределом функции f (x) в точке a, если для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для любого x ∈ D(f ) такого, что |x − a| < δ и x /= a, выполнено неравенство |f (x) − l| < ε. При этом используют

такие обозначения: l = lim f (x), f (x) −→ l, и говорят также, что l есть[pic 8][pic 9]

предел f (x) при x, стремящемся к a, или что f сходится к l при x, стремящемся к a.

Используя кванторы, соотношение l = lim f (x) можно записать так:

x→a

(∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, |x − a| < δ, x /= a)        |f (x) − l| < ε,

или так:

(∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (a − δ, a + δ), x /= a)        |f (x) − l| < ε.

Определение бесконечного предела в предельной точке. Го- ворят, что пределом функции f в точке a R является + (соответствен- но ), если для любого ε найдется такое δ > 0, что для любого x D(f ), для которого x a < δ и x = a, выполнено неравенство f (x) > ε (соот- ветственно f (x) < ε).[pic 10][pic 11][pic 12]

При этом используют такие обозначения: +∞ = lim f (x), f (x) −→

+∞ (соответственно −∞ = lim f (x), f (x) −→ −∞).[pic 13][pic 14]

x→a

x→a

Определение бесконечной точки сгущения. Говорят, что +∞ (соответственно −∞, ∞) является (бесконечной) точкой сгущения мно- жества X ⊂ R, если для любого r > 0 существует такое x ∈ X, что x > r (соответственно x < −r, |x| > r).

Определение предела функции в бесконечной точке сгуще- ния. Число l  R (соответственно +  ,        ) называют пределом функ- ции f (x) при x, стремящемся к + (  , ), если для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для любого x  D(f ) такого, что x > δ (со- ответственно x < δ, x > δ), выполнено неравенство f (x) l < ε (соответственно f (x) > ε, f (x) < ε, f (x) > ε). При этом используют обозначения, аналогичные данным выше, с очевидными изменениями, и[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]