Обыкновенные дифференциальные уравнения
Автор: Annna_G • Февраль 19, 2022 • Задача • 551 Слов (3 Страниц) • 229 Просмотры
Определить тип уравнения и найти его решение.
№1
[pic 1]
Решение:
Данное дифференциальное уравнения является дифференциальным уравнением первого порядка. Тип данного уравнения - уравнение с разделяющимися переменными.
Разделим переменные, проинтегрируем обе части, тем самым найдём общее решение данного дифференциального уравнения, получим:
[pic 2]
[pic 3]
[pic 4]
[pic 5]
Тогда общий интеграл данного дифференциального уравнения выглядит так:
[pic 6]
№2
[pic 7]
Решение:
Данное уравнение является линейным. Решим его с помощью следующей замены:
[pic 8]
Тогда:
[pic 9]
Подставляем в исходное уравнение данные замены:
[pic 10]
[pic 11]
Получаем систему уравнений:
[pic 12]
Решим первое уравнение системы:
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
Вычислим интеграл от правой части отдельно, выпишем:
[pic 16]
Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей, получим:
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
Получаем систему уравнений:
[pic 20]
Решаем:
[pic 21]
Тогда подынтегральное выражение перепишется так:
[pic 22]
Тогда:
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
Подставим полученное решение во второе уравнение системы и найдём его решение:
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
Теперь сделаем обратную замену и получим общее решение исходного дифференциального уравнения:
[pic 34]
№3
[pic 35]
Решение:
Данное уравнение является уравнением Бернулли.
Разделим данное уравнение на y4, получим:
[pic 36]
Сделаем замену:
[pic 37]
Тогда:
[pic 38]
[pic 39]
Тогда уравнение перепишется так:
[pic 40]
[pic 41]
Получили линейное неоднородное уравнение первого порядка, решим его с помощью следующей замены:
[pic 42]
Тогда:
[pic 43]
Подставляем:
[pic 44]
[pic 45]
Получаем систему уравнений:
[pic 46]
Решим первое уравнение системы:
[pic 47]
[pic 48]
[pic 49]
[pic 50]
[pic 51]
[pic 52]
Подставим полученное решение во второе уравнение системы:
[pic 53]
[pic 54]
[pic 55]
[pic 56]
Сделаем обратную замену:
[pic 57]
Сделаем ещё одну обратную замену и получим общее решение исходного дифференциального уравнения:
[pic 58]
[pic 59]
№4
[pic 60]
Решение:
Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением первого порядка. Для его решения сделаем следующую замену:
[pic 61]
Тогда первая производная будет равна:
[pic 62]
Подставляем в исходное уравнение данные замены:
[pic 63]
[pic 64]
Получаем систему уравнений:
[pic 65]
Решим первое уравнение системы:
[pic 66]
[pic 67]
[pic 68]
[pic 69]
[pic 70]
[pic 71]
Подставим полученное решение во второе уравнение системы и найдём его решение:
[pic 72]
[pic 73]
[pic 74]
[pic 75]
Сделаем обратную замену, получим общее решение исходного дифференциального уравнения:
[pic 76]
Теперь найдём частное решение, воспользовавшись начальным условием:
[pic 77]
[pic 78]
[pic 79]
[pic 80]
Тогда искомое частное решение выглядит так:
[pic 81]
№5
[pic 82]
Решение:
Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Для его решения сделаем следующую замену:
[pic 83]
Тогда:
[pic 84]
Подставим в исходное уравнение данные замены:
[pic 85]
[pic 86]
[pic 87]
[pic 88]
[pic 89]
[pic 90]
[pic 91]
[pic 92]
[pic 93]
Сделаем обратную замену, тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения выглядит так:
[pic 94]
[pic 95]
№6
[pic 96]
Решение:
[pic 97]
[pic 98]
Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка, решим его с помощью следующей замены:
...