Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Московский Технический Университет

Связи и Информатики

Кафедра Информатики

1.5 Лабораторная работа по теме

 «Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений»

Москва 2018

Задание

1. Выбрать индивидуальное задание в табл. 1.5-1 для решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

• дифференциальное уравнение [pic 1];
• интервал [a;b] ,  где ищется решение дифференциального  уравнения;
• начальные условия  x0, y0;
• шаг интегрирования  h0.

1. Найти аналитическое решение[pic 2] заданного дифференциального уравнения, полагая его точным.
2. Вычислить значения полученного решения[pic 3] на отрезке [a;b] с шагомh0.
3. Найти численное решение дифференциального  уравнения методом Эйлера - [pic 4] в точках отрезка [a;b] с шагом h0 с помощью «ручного счета».
4. Вычислить значения погрешностей[pic 5]для[pic 6], [pic 7], [pic 8].
5. Составить схему алгоритма, написать программу интегрирования дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4-го порядка с автоматическим выбором шага и  провести контрольное тестирование на примере, рассмотренном в п. 1.5.5.
6. Получить решение«расчетом на ПК» [pic 9] с шагом   h0 и  E  =10-4.
7. Вычислить значения погрешностей[pic 10], [pic 11]
8. Графически проиллюстрировать решения[pic 12].

Индивидуальное задание:

Аналитическое решение

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Из начальных условий следует, что c = 2.

Аналитическое решение дифференциального уравнения:

[pic 18]

Значения точного решения ОДУ

С использованием Scilab

>> f = @(x,y)x.^3*y.^2;

>> [x,y]=ode23(f,0:0.2:2,-2)

x =

         0

    0.2000

    0.4000

    0.6000

    0.8000

    1.0000

    1.2000

    1.4000

    1.6000

    1.8000

    2.0000

y =

   -2.0000

   -1.9985

   -1.9750

   -1.8786[pic 19]

   -1.6605

   -1.3344

   -0.9825

   -0.6843

   -0.4661

   -0.3177

   -0.2205

>> [x,y]=ode45(f,0:0.2:2,-2)

x =

         0

    0.2000

    0.4000

    0.6000

    0.8000

    1.0000

    1.2000

    1.4000

    1.6000

    1.8000

    2.0000

y =

   -2.0000

   -1.9984

   -1.9747

   -1.8783

   -1.6600

   -1.3333

   -0.9819

   -0.6848

   -0.4677

   -0.3201

   -0.2223

>> plot(x,y)

>> grid on

Ручной расчёт