Математикалық индукция принципі. Формуланы қорытып шығаруда математикалық индукцияның қолданылуы

Математикалық индукция принципі. Формуланы қорытып шығаруда математикалық индукцияның қолданылуы.

Математикада теоремаларды дәлелдеуде, есептерді шығаруда көп қолданылатын әдістердің бірі индукция мен дедукция деп аталады. Бұл әдістердін негізіне тусіну үшін алдымен ойды қорытындылаудың кандай түрлері болатынын қарастырайық.Индукция (латын: inductio-жетелеу) екі немесе бірнеше дербес пікірлерден жаңа ортақ пікірге көшетін ой-тұжырымы.Индукция тұжырымы әрқашан ақиқат бола бермейді.Индукция әдісін ең алғаш қолданған француз ғалымы Б.Паскаль (1623-1662) болатын. Дегенмен қолданудың жеке жағдайлары ежелгі дәуірде Прокл мен Евклидте кездеседі. Әдістің қазіргі атауын 1838 жылы Де Морган енгізген.

Жеке фактылар өте көп болып, бірақ олардың барлығын қарастырмай, тек кейбіреулерін ғана қарастырып, олардағы ерекшеліктерді байқап алып, сол арқылы жалпы қорытынды жасайтын болсақ, ол толымсыз индукция болады. Сонымен, толымсыз индукция дегеніміз құбылыстың, зерттеліп отырған обьектілердің барлық жағдайларын қамтымайтын  алғы шарттардан шығатын жалпы ой қорытындысы. Толымсыз индукция жасаған қорытынды дұрыс болмауы мүмкін, өйткені алашкы жеке фактыларда бар ерекшелік кейінгілерінде болмайтын жағдай болады. Сондықтан толымсыз индукция барлық жеке жағдайлар түгел қарастырылмағандықтан, бұған сүйеніп айтылған қорытынды дұрыс бола бермейді. Сондықтан бұл ғылыми дәлелдеудің қатаң түрі бола алмайды.Толық индукцияға негізделіп жасалған қорытынды үнемі қатесіз тұжырым жасауға мүмкіндік береді. 

Мысалы, математика тарихынан толымсыз индукцияны қолданып теріc қорытындылар жасалынған жағдайларды көптеп кездестіреміз. Мысалы, француз математигі Ферма (1601-1665)

22^n +1 формуладағы n-нің дербес (n =1,2,3,4) мәндерін қарастыра келіп, бұл саннан әрқашан жай сан шығады деп жорыған. Кейін оны Л-Эйлер (1707-1783) тексере келіп, n =5 болғанда жай сан болмайтынын тапкан.

Ерекшелігін Л.Эйлер көрсеткен үш мүшедегі (х²+x+41) х-ке қандай мән берілсе де, одан жай сан береді деп білген, бір кезде. Кейін х-тің дербес мәндерін тексере келіп, х=0,1,..., 39 болганда жай сан, ал х=40 болғанда құрама сан шығатыны байқалған.

Бірак солай бола тұрса да толымсыз индукцияның ғылымда маңызы күшті. Оның пайдасы белгілі бір зерттеу мәселесінде кейбір жеке жағдайды қарастыру арқылы сәйкес зандылыкты байқап, жалпы қорытындының қандай болатынын жобалауға болады.

Толық индукция дегеніміз-зерттеліп отырған құбылыстың немесе объектінің барлық жағдайларын толық қамтитын алғы шарттардан жалпы қорытынды шығаруға болатын индукциялық ой қорытындысы.

Мысалы, Күннің шығыстан шығатынын күнде байқаймыз. Сондықтан ертең батыста емес, шығыста пайда болатынына сенімді бола аласыз. Біз бұл қорытындыны Күннің аспан бойынша қозғалысының себебі туралы ешқандай болжамға жүгінбей-ақ жасаймыз (оның үстіне бұл қозғалыстың өзі айқын болып шығады, өйткені глобус шын мәнінде қозғалады). Дегенмен, бұл индуктивті қорытынды ертеңгі күні жасайтын бақылауларымызды дұрыс сипаттайды.