Линейное уравнение, система линейных уравнений
Автор: Vlada Kazakova • Май 16, 2019 • Лекция • 5,003 Слов (21 Страниц) • 383 Просмотры
- Линейное уравнение, система линейных уравнений.
Общий вид линейного уравнения
(1)[pic 1]
Здесь – неизвестные, – коэффициенты уравнения, b – свободный член.[pic 2][pic 3]
При b = 0 линейное уравнение называется однородным. При b не равном 0 неоднородным.
Решением линейного уравнения (1) называется упорядоченная последовательность чисел, подстановка которых вместо неизвестных превращает уравнение в тождество.
Определение. Упорядоченная (пронумерованная) система из m уравнений, содержащих неизвестные называется линейной системой. В общем случае она имеет вид:[pic 4]
(2)[pic 5]
Коэффициенты системы имеет два индекса: первый индекс i обозначает номер уравнения в системе (i = 1…m), j – порядковый номер неизвестного в данном уравнении (j = 1…n).[pic 6]
В общем случае число уравнений в системе не равно числу неизвестных, т.е. m ≠ n.
Система (2) называется однородной, если правая часть всех уравнений системы равна нулю.
Решением линейной системы (2) называется упорядоченная последовательность чисел, подстановка которых вместо неизвестных превращает каждое уравнение системы в тождество.
Система линейных уравнений (2) называется:
- несовместной, если она не имеет решений (ни одного);
- совместной, если имеет решение (хотя бы одно);
- определенной, если решение только одно;
- неопределенной, если решений бесчисленное множество.
Две системы линейных уравнений называются равносильными, если они имеют одно и тоже решение.
Замечание. Очевидно, что умножение правой и левой части любого из уравнений на одно и тоже число, перестановка местами уравнений, почленное сложение двух уравнений приводит к равносильной системе.
- Запись системы линейных уравнений в матричной форме (матрица линейной системы).
Систему линейных уравнений (2) мы можем записать в матричной форме:
АХ = В,
где
А = , X = , B = [pic 7][pic 8][pic 9]
Здесь А – упорядоченная таблица, построенная из коэффициентотв линейной системы (2) – числовая матрица линейной системы, Х – столбец неизвестных, В – столбец свободных членов.
Часто рассматривают матрицы, содержащие столбец из свободных членов:
А = [pic 10]
Такие матрицы называют расширенными. Столбец свободных членов обычно отделяют вертикальной линией.
Пример.
Пусть дана система
[pic 11]
Тогда А = – матрица коэффициентов системы, X = - столбец неизвестных, В = - столбец свободных членов.[pic 12][pic 13][pic 14]
Познакомимся с матрицами ближе.
- Матрицы
Матрицей называется таблица чисел. Любая матрица имеет определенное количество строчек и столбцов, которое называется порядком или размером матрицы. Матрицы обозначаются заглавными буквами и, обычно, заключаются в круглые скобки.
Пример:
[pic 15]
Данная матрица имеет 2 строки и 3 столбца, т.е. имеет размер 2*3.
Матрица состоит из 6 элементов. Каждый элемент матрицы имеет свой номер, по которому данную матрицу можно однозначно идентифицировать. Обозначается элемент , где i – номер строки, а j – номер столбца. Например, = -4, а = 3.[pic 16][pic 17][pic 18]
Некоторые специальные виды матриц, термины и обозначения.
Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.
Элементы квадратной матрицы , , и т.д (т.е. номер строки совпадает с номером столбца) называются диагональными, а их совокупность образует главную диагональ.[pic 19][pic 20][pic 21]
...