Лекция по "Математике"

1 лекция. Екінші және үшінші ретті  анықтауыштар. Анықтауштың негізгі қасиеттері.[pic 1]- ретті анықтауыштар

.

Өлшемі [pic 2] болатын матрица деп, [pic 3] сандардан құралған тік бұрышты кестені атайды. Мұның[pic 4]жолдары және [pic 5] бағаналары болады. Матрица мына түрде жазылады:

                                        [pic 6]                         (1)

[pic 7]сандарын матрицаныңэлементтері деп атайды. [pic 8]индекстері сәйкесінше осы элемент орналасқан жолдың және бағананың нөмірлерін көрсетеді. Жол саны бағана санымен бірдей болып келетін матрица квадраттық матрица деп, ал [pic 9] саны сол квадраттық матрицаның реті деп аталады.

Айталық, мынадай квадраттық матрица берілсін:

                                        [pic 10][pic 11]                         (2)

Осы матрицаныңәр жолы мен әр бағанасынан бір-бірден алынған [pic 12]элементтердің көбейтіндісін қарастырайық. Бұл көбейтіндіні жол нөмірлерініңөсу ретімен төмендегіше жазайық:

                                [pic 13]                                         (3)

Бұл элементтер  әр бағанадан бір-бірден алынғандықтан, олардың екінші индекстері [pic 14]әр түрлі болады және олар [pic 15]-ден [pic 16]-ге дейінгі сандардан жасалған алмастыруды түзеді. Сондықтан (3) түріндегі көбейтінділердің саны [pic 17]–ға ([pic 18]–санынан жасалатын алмастырулар санына) тең болады.

[pic 19]алмастырудағы үлкен нөмірдің кіші нөмірден бұрын тұрған жағдайын инверсия (ретсіздік) деп атайды. Қарастырылып отырған алмастырудың барлық инверсиялар санын[pic 20][pic 21]) деп белгілейік.

(2) квадраттық матрицаға сәйкес [pic 22]-ретті анықтауыш деп саны [pic 23] болатын мына түрдегі[pic 24]қосылғыштардан құралған

қосындыны айтады: [pic 25].

Анықтауыш былай белгіленеді: [pic 26][pic 27]      (4)

[pic 28]сандары анықтауыштыңэлементтері, ал анықтауышты құрайтын қосылғыштар оның мүшелері делінеді. [pic 29]элементтер жиыны анықтауыштыңбас диагоналі деп аталады.

Анықтама бойынша, 2-ші, 3-ші ретті анықтауыштар деп,сәйкесінше, мыналарды айтамыз:

[pic 30]                                         (5)

[pic 31][pic 32] (6)

.

Анықтауыштардың бірнеше қасиеттерін атап өтейік.

1. Анықтауыштың жолдарын бағаналарымен немесе керісінше, бағаналарын жолдарымен ауыстырып жазғаннан оның мәні өзгермейді;

Ескерту. Бұл қасиет бойынша анықтауыштың жолдары мен бағаналары тең рольді. Сондықтан, ілгеріде анықтауыштыңқасиеттерін тек қана жолдары үшін тұжырымдаймыз.

1. Анықтауыштың бір жолының барлық элементтері нөлге тең болса, ондай анықтауыш нөлге тең болады.
2. Анықтауыштың екі жолын ауыстырып қойса, оның таңбасы өзгереді.
3. Егер анықтауыштың екі жолы бірдей болса, онда ол нөлге тең болады.
4. Бір жол элементтерінің ортақ, көбейткішін анықтауыш белгісінің сыртына шығаруға болады.
5. Егер анықтауыштың екі жолының элементтері пропорционал болса, онда анықтауыш нөлге тең болады.
6. Егер анықтауыштың[pic 33]інші жолының элементтері [pic 34]екі қосылғыштыңқосындысы [pic 35] түрінде жазылса, онда ол анықтауыш екі анықтауыштыңқосындысына тең болады.

Бұл анықтауыштардың[pic 36]інші жолынан өзгелері берілген анықтауыштың жолдарындай, ал біріншісінің [pic 37]нші жолы [pic 38] элементтерінен, екіншісінің[pic 39]інші жолы [pic 40] элементтерінен тұрады.