Исследование функции средствами дифференциального исчисления

        НА ТЕМУ: «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ СРЕДСТВАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..3

ГЛАВА  1.  ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ…………………………4

1.1. Методы дифференциального исследования функций……………………4

1.2. Правила построения графиков функций…………………………………7

ГЛАВА  2.  ПРИМЕР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ………………………………………………………………………9

2.1.  Последовательность исследования функции методом дифференциального исчисления и построения графика функции………….9

2.2. Исследование функции y=f(x) методом дифференциального исчисления и построения графика функции…………………………………………………13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………..17

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ………………………...18

ПРИЛОЖЕНИЕ………………………………………………………………..19

ВВЕДЕНИЕ

        В реферате освещён раздел математики, называемый дифференциальным исчислением. В нем применяется исследование свойств функций, заданных на интервалах. Если ранее такое исследование было доведено лишь до выяснения свойств непрерывных функций, то дифференциальное исчисление продвигает его намного дальше, а следовательно данная тема реферата является актуальной для изучения и имеет практическую значимость.

        Анализ базовой и дополнительной учебной литературы в целом показывает, что объем представлений об исследовании функций средствами дифференциального исчисления ограничивается достаточно узким спектром методологических подходов.

        Цель реферата выявить методические особенности исследования функций средствами дифференциального исчисления.

        Исходя из поставленной цели, вытекают следующие задачи:

        1. Изучить специализированные научно-исследовательские работы, посвященные теме реферата.

        2. Проанализировать состояние методических рекомендаций, лежащих в основе процесса исследования функций средствами дифференциального исчисления.

        3. На основе анализа методических рекомендаций разработать поэтапную последовательность исследования функции методом дифференциального исчисления и построения графика функции.

        4. Разобрать примеры применения  дифференциального исчисления и построения графика функции.        

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ

1.1. Методы дифференциального исследования функций

        В дифференциальном исследовании функций свойство непрерывности говорит о том, что функция мало отклоняется от своего значения в точке x0 при малом отклонении Δx аргумента от x0. Поэтому в окрестности точки  x0 непрерывную функцию можно приближенно заменить константой (ее значением в точке x0). Но при этом абсолютная погрешность приближения стремится к нулю при Δx→0.         

        Однако такая аппроксимация никак не отражает того, как меняется функция при переходе независимой переменной через точку  x0, какова скорость этого изменения, возрастает или убывает она при этом. Дифференциальное исчисление отвечает в первую очередь на эти вопросы. С помощью вводимых понятий производной и дифференциала функции в точке x0 удается построить более точную аппроксимацию функции в окрестности точки x0 не константой, а линейной функцией. Такая аппроксимация отражает не только величину, но и характер изменения функции в точке x0.         Значение такого подхода к локальному исследованию функции связано с тем, что он позволил ввести строгое понятие скорости изменения функции в точке. На языке физики это, например, возможность дать строгое определение скорости неравномерного движения; на языке геометрии – возможность определить касательную к произвольной линии. С такого рода приложениями было связано бурное развитие основ дифференциального исчисления во второй половине XVII века – в эпоху расцвета механики и астрономии.