Дифференциальное исчисление функций
Автор: Dayenerys69 • Май 2, 2020 • Контрольная работа • 1,050 Слов (5 Страниц) • 290 Просмотры
1–10. Найдите производную функции.
а) [pic 1]
[pic 2]
[pic 3]
б) [pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
в) [pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
г) [pic 11]
[pic 12]
д) [pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
е) [pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
Ответ:
а) [pic 19]; б) [pic 20]; в) [pic 21]; г) [pic 22]; д) [pic 23];
е) [pic 24]
- Найти уравнение касательной к графику функции [pic 25] в точке с абсциссой [pic 26]. Построить кривую [pic 27] и касательную.
- [pic 28]
Решение:
Уравнение касательной к графику функции [pic 29] в точке [pic 30]имеет вид:
[pic 31], где [pic 32]- угловой коэффициент, [pic 33]
Найдем значение [pic 34]: [pic 35]
Найдем значение [pic 36]:
[pic 37]
[pic 38]
Тогда уравнение касательной будет: [pic 39]
График функции[pic 40] и касательной [pic 41]:
[pic 42]
Ответ: [pic 43]
- Тело движется прямолинейно по закону [pic 44], где [pic 45]- путь, измеряемый в метрах, [pic 46]- время, измеряемое в секундах. Найти скорость и ускорение движения тела через две секунды после начала движения.
- [pic 47]
Решение: Скорость движения тела равна производной пути по времени: [pic 48].
Ускорение движения тела равно производной скорости по времени: [pic 49].
Тогда, [pic 50]
[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
Ответ: [pic 54], [pic 55]
31-40. Исследовать функцию и построить ее график.
34. [pic 56]
Решение:
- Область определения: знаменатель обращается в нуль при х=0, то [pic 57].
2) [pic 58]
[pic 59]
Функция является ни четной, ни нечетной.
3) Существование асимптот.
а) вертикальные асимптоты.
Функция не определенна в точке х=0, найдем пределы слева и справа в этой точке:
[pic 60]
Значит, имеет вертикальную асимптоту х=0.
б) горизонтальные асимптоты.
Для определения горизонтальных асимптот найдем пределы:
[pic 61]
Пределы конечны, значит, есть горизонтальная асимптота у=1.
в) наклонные асимптоты.
Для определения наклонной асимптоты [pic 62] при [pic 63] найдем [pic 64] и [pic 65]:
[pic 66]
[pic 67]
Совпадает с горизонтальной асимптотой.
- Монотонность и экстремум.
Найдем критические точки. Для этого найдем первую производную:
[pic 68]
Производная не существует в точке х=0, значит это первая критическая точка.
Приравняем [pic 69]:
[pic 70] - вторая критическая точка.
Отложим критические точки на числовой оси и исследуем знак первой производной на полученных интервалах:
[pic 71]
Функция убывает на отрезках: [pic 72]
Функция возрастает на отрезке: [pic 73]
Функция имеет минимум в точке[pic 74], [pic 75].
- Выпуклость и вогнутость, точки перегиба.
Определим критические точки по второй производной:
[pic 76]
Производная не существует в точке х=0, значит это первая критическая точка.
Приравняем [pic 77]:
[pic 78] - вторая критическая точка.
Отложим критические точки на числовой оси и исследуем знак второй производной на полученных интервалах:
...