Дифференциальное исчисление функции
Автор: Dayenerys69 • Июнь 13, 2020 • Контрольная работа • 1,018 Слов (5 Страниц) • 361 Просмотры
- Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производную первого порядка.
а) [pic 1]
[pic 2]
[pic 3]
б) [pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
в) [pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
г) [pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
д) [pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
е) [pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
Ответ:
а) [pic 21]
б) [pic 22]
в) [pic 23]
г) [pic 24]
д) [pic 25]
е) [pic 26]
2. Найти производную первого порядка.
а) [pic 27]
[pic 28]
б) [pic 29]
[pic 30]
в) [pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
г) [pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
д) [pic 37]
[pic 38]
[pic 39]
е) [pic 40]
[pic 41]
[pic 42], [pic 43]
[pic 44]
ж) [pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
Ответ:
а) [pic 49]
б) [pic 50]
в) [pic 51]
г) [pic 52]
д) [pic 53]
е) [pic 54]
ж) [pic 55]
- Найти уравнение касательной к графику функции [pic 56] в точке с абсциссой [pic 57]. Построить кривую [pic 58] и касательную.
[pic 59]
Решение:
Уравнение касательной к графику функции [pic 60] в точке [pic 61]имеет вид:
[pic 62], где [pic 63]- угловой коэффициент, [pic 64]
Найдем значение [pic 65]: [pic 66]
Найдем значение [pic 67]:
[pic 68]
[pic 69]
Тогда уравнение касательной будет: [pic 70]
График функции[pic 71] и касательной [pic 72]:
[pic 73]
Ответ: [pic 74]
- Найти приращение и дифференциал функции [pic 75] в точке [pic 76] при [pic 77].
[pic 78]
Решение:
Запишем приращение функции [pic 79] в точке[pic 80]. Значению аргумента [pic 81] соответствует значение функции [pic 82]. Изменим значение аргумента на [pic 83]. Получим новое значение аргумента [pic 84], которому соответствует значение функции:
[pic 85].
Если значение аргумента [pic 86] изменить на величину [pic 87], то значение функции также изменится на некоторую величину [pic 88], равную разности значений функции в точках [pic 89] и [pic 90]:
[pic 91]
Значит,
[pic 92]
Здесь первое слагаемое [pic 93] пропорционально [pic 94] и, следовательно, является линейной частью приращения функции. Слагаемые [pic 95] состоят из членов второго и третьего порядка малости по отношению к [pic 96], то есть является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем [pic 97].
Запишем дифференциал функции [pic 98] в точке[pic 99]. Дифференциалом функции называют линейную часть приращения[pic 100]:
[pic 101][pic 102]
Подставляя исходные данные, получим:
[pic 103]
[pic 104]
Ответ: [pic 105], [pic 106]
- Найти производную второго порядка.
[pic 107]
[pic 108]
[pic 109]
[pic 110]
Ответ: [pic 111]
- Тело движется прямолинейно по закону [pic 112], где [pic 113]- путь, измеряемый в метрах, [pic 114]- время, измеряемое в секундах. Найти скорость и ускорение движения тела через две секунды после начала движения.
[pic 115]
Решение: Скорость движения тела равна производной пути по времени: [pic 116].
Ускорение движения тела равно производной скорости по времени: [pic 117].
Тогда, [pic 118]
[pic 119]
[pic 120]
[pic 121]
Ответ: [pic 122], [pic 123]
...