Исследование функции

Функция [pic 1]  задана  аналитическим выражением

[pic 2]

[pic 3]Укажите область определения и область значения D этой функции.

[pic 4]Найти уравнение вертикальной асимптоты и наклонной   асимптоты  к  графику  этой  функции.

[pic 5]Найти стационарные точки данной  функции.  Имеет  ли  функция  в  стационарных точках  экстремум?  Если  да,  то  какой  экстремум?  Обоснуйте  ответ.

[pic 6]Укажите интервалы возрастания и убывания функции [pic 7].

[pic 8]Найдите интервалы выпуклости (вогнутости)  функции [pic 9], используя вторую производную.

[pic 10]Найдите касательную в  точке [pic 11].

[pic 12]Постройте график этой  функции.

.

Решение

1. Область определения – это множество чисел, на котором задается функция, т.е. на котором она определена. Где возникают слабые места?

• При делении, так как на 0 делить нельзя.
• При извлечении корня четной степени, так как извлекать корень мы можем только из положительного числа.
• При вычислении логарифма, так как логарифм вычисляется только от положительных чисел.

Во всех остальных случаях функцию можно вычислить при любом х, т.е. область определения есть [pic 13].

В нашем случае присутствует деление. И при [pic 14]знаменатель обращается в ноль, т.е. присутствует деление на 0, что невозможно. Поэтому из области определения исключаем точку:

[pic 15]

Область определения D этой функции: [pic 16].

Область значения [pic 17]

1. Найдём уравнение вертикальной асимптоты и наклонной   асимптоты  к  графику  этой  функции.

• Асимптоты бывают трех видов: вертикальная, горизонтальная и наклонная. Вертикальная находится из области определения (рассматривают левосторонние и правосторонние пределы в точке разрыва).
• Горизонтальная асимптота находится из области значения (если функция определена не для всех значений у) . Пример функции, имеющий горизонтальную асимптоту arctg(x).
• Наклонная асимптота ищется в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом y=kx+b  согласно формулам, приведенным ниже.

В  точке  [pic 18]  функция  терпит  разрыв.  Для  уточнения типа разрыва  находим  односторонние  пределы:

[pic 19]

Так как  односторонние  пределы  стремятся  к бесконечностям,  то  [pic 20] точка разрыва второго рода, а прямая х=-1 - вертикальная  асимптота.

Есть еще точки разрыва 1-го рода, когда в точке имеются конечные левосторонние и правосторонние пределы, но они не равны между собой. В этом случае точка разрыва называется еще скачком функции.

Находим  наклонную  асимптоту:

[pic 21]

Следовательно,  [pic 22] - наклонная асимптота.

1. Найдём  точки   экстремумов.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Для нахождения точки экстремума необходимо взять первую производную функции и приравнять ее к нулю. Корни получившегося уравнения являются точками, в которых функция достигает своих максимальных и минимальных значений, и называются стационраными.

[pic 23]

Так как на ноль делить нельзя, то приравниваем к нулю числитель и решаем квадратное уравнение:

[pic 24]

Производная  [pic 25]  существует  всюду в  области определения,    следовательно,  имеем  две  критические  точки.

Вычислим значения функции в этих точках