Довести тотожності теорії множин за допомогою алгебраїчних перетворень.

Довести тотожності теорії множин за допомогою алгебраїчних перетворень.

B ∪ ((B ⊕ (B⊕A)) \ B) = A∪B

1. ((AB) (AC)) \ (B C) =((AB) (AC)) BC= = (AB) (AC)B C=(AB BB) (AC CC) =(AB ) (AC ) =

=ABAC = BC =

Тотожність доведено

2. Скориставшись асоціативним законом для симетричної різниці, перетворимо вираз

B ∪ ((B ⊕ (B⊕A)) \ B) =B ∪ ((B ⊕ B) ⊕ A) \ B) =B ∪ (⊕ A) \ B) =B ∪ (A B) =

B ∪ (A B) =(AB) U= AB

Тотожність доведено

Завдання 9. Довести теорему в численні висловлювань L. Перед доведенням замінити операції, відмінні від імплікації та заперечення, на еквівалентні вирази, які містять тільки імплікацію та заперечення. Не дозволяється проводити додаткові алгебраїчні перетворення, наприклад, скорочення подвійних заперечень.

Замінимо операцію кон'юнкції на імплікацію із запереченням.

(BC)(AB) (C A)= ((BC)(AB)) (C A)

Припустимо, що ( (BC)(AB)) (C A) = 0

Тоді ( (BC)(AB))= 1, (C A) = 0;

Якщо (C A) = 0, тоді С = 0, А = 1;

Якщо (BC)(AB)=1, тоді

(BC) =1 та (AB) = 1, або

(BC) =0 та (AB) = 1, або

(BC) =0 та (AB) = 0.

Розглянемо, перший вираз і підставимо в нього попередньо виведені значення А та С.

(BC) =1 та (AB) = 1 (BC) = 0 та (AB) = 0

B0 = 0 та 1B = 0- вираз хибний

Аналогічним чином розглянемо другий та третій вираз.

(BC) =0 та (AB) = 1 (BC) =1 та (AB) = 1

B0 = 1 та 1B = 1 - вираз хибний