Елементи спектральної теорії лінійних операторів

ТЕРНОПІЛЬСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ВОЛОДИМИРА ГНАТЮКА

Кафедра математики та методики її навчання

КУРСОВА РОБОТА
на тему:

Елементи спектральної теорії лінійних операторів

студентки IІІ курсу групи М - 32

напрям підготовки 6. 040201

cпеціaльнocті «Мaтемaтикa»

Гетманюк Оксани Іванівни

Науковий керівник
Лотоцький Володимир Андрійович

Національна шкала____________________

Кількість балів:_______ Оцінка ECTS:____

Тернопіль – 2015

Зміст

РОЗДІЛ І. Власні значення і власні вектори лінійних операторів

1. Означення і основні властивості  ..................................................... 3
2. Власні значення і власні вектори лінійних операторів в скінченно вимірних просторах ........................................................................... 4
3. Власні значення і власні вектори цілком неперервних операторів в скінченно-вимірних просторах..........................................................6
4. Власні значення і власні вектори лінійних цілком неперервних самоспряжених операторів ……………..................................................8

       РОЗДІЛ ІІ. Резольвентна множина і спектр лінійного оператора

        2.1.Основні означення .............................................................................11

        2.2. Спектральний радіус лінійного оператора .....................................13

2.3. Резольвента як аналітична оператор-функція ................................16

     РОЗДІЛ ІІІ. Інтегрування абстрактних функцій в просторі Банаха

        3.1. Існування інтеграла Рімана абстрактної неперервної функції.......18

        3.2. Властивості інтеграла Рімана ...........................................................20

3.3. Абстрактні функції обмеженої варіації і інтеграл Стільтьєса........22

3.4. Невласні і криволінійні інтеграли ................................................... 25

      РОЗДІЛ ІV. Спектральний розклад самоспряжених операторів

        4.1. Спектральна функція самоспряженого оператора……………………….27

        4.2. Існування спектральної функції довільного самоспряженого оператора………………………………………………………………………..28

        4.3. Спектральний розклад необмежених самоспряжених операторів……………………………………………………………………....30

РОЗДІЛ І. Власні значення і власні вектори лінійних операторів

1.1.Означення і основні властивості

Нехай Х - деякий лінійний простір і А – лінійний оператор, визначений в Х, з областю визначення D(A).

Означення
Число λ називається власним значенням оператора А, якщо існує вектор х≠0, х D(A) такий,що [pic 1]

Ах=λх                         (1)

При цьому вектор х називається власним вектором оператора А, якому відповідає власне значення λ.

Власні значення і власні вектори лінійних операторів відіграють важливу роль в різних областях математики. Нижче наведемо різного роду приклади. Відмітимо поки, що не кожен лінійний оператор має власні значення.

ПРИКЛАД: В лінійному просторі  розглянемо лінійний оператор А, що задається матрицею[pic 2]

[pic 3]

Оператор А здійснює поворот площини на  відносно початку координат і геометрично зрозуміло, що А в даному випадку не має власних векторів.[pic 4]

Нехай х – власний вектор А, який відповідає власному значенню λ. Тоді з (1) випливає, що αх, де α≠0 теж є власним вектором оператора А, якому відповідає число λ.

ТЕОРЕМА

Власні вектори лінійного оператора, яким відповідають різні його власні значення є лінійно незалежними.