Дифференциальные уравнения и системы. Ряды. Операционный метод. Элементы теории векторных полей

[pic 1]

Содержание

Задача 3.1        3

Задача 3.2        5

Задача 3.3        8

Задача 3.4        10

Задача 3.5        11

Задача 3.6        12

Задача 3.7        14

Задача 3.8        16

Задача 3.9        18

Задача 3.10        19

Список используемой литературы        21

[pic 2][pic 3]

Контрольная работа №3

Дифференциальные уравнения и системы.

Ряды. Операционный метод. Элементы теории векторных полей

Задача 3.1

Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка, удовлетворяющие указанным начальным условиям. Сделать проверку. Решение проверить в MathCad.

168. [pic 4] 

Решение:

Это уравнение с разделяющимися переменными:

[pic 5] 

Найдем решение задачи Коши, подставив в общее решение начальное условие:

[pic 6]

[pic 7]

Скриншот MathCAD №1

Задача 3.2

Решить дифференциальные уравнения второго порядка: а) найти общее решение; б) найти решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям. Сделать проверку подстановкой решения в исходное уравнение. Сделать проверить в MathCad аналитически и численно.

178 а) [pic 8].

б) [pic 9].

Решение:

а) [pic 10]

Это уравнение второго порядка, который не содержит х, тогда понизим порядок заменой [pic 11]; получим:

[pic 12]

Проверка:

[pic 13] 

Решение найдено верно.

б) [pic 14].

Общее решение неоднородного уравнения уон ищем в виде суммы общего решения однородного уравнения уоо и частного решения неоднородного уравнения учн.

Однородное уравнение:

[pic 15].

Характеристическое уравнение:

[pic 16] 

Так как [pic 17]  не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

[pic 18] 

Решение задачи Коши:

[pic 19]

[pic 20]

Ответ: [pic 21]

[pic 22]

Скриншот MathCAD №2.

Задача 3.3

188. Вагоновожатый трамвая, включая реостат, постепенно увеличивает мощность двигателя так, что сила тяги возрастает от нуля пропорционально времени, увеличиваясь на 120 Н в секунду. Найти закон движения трамвая при следующих данных: 1) масса вагона М = 10 т; 2) сопротивление трению постоянно и равно 200 Н; 3) начальная скорость равна нулю

Решение:

Центр тяжести вагона движется по горизонтальной прямой. Начало координат поместим в начальное положение центра тяжести вагона. Проектируя внешние силы, приложенные к вагону, на ось абцисс, получим силу тяги, равную 120t, и силу сопротивления, равную 200 кГ, где t – время с момента выключения реостата. На основании второго закона Ньютона запишем дифференциальное уравнение движения вагона:

                (1)[pic 23]

Начало движения вагона не совпадает с моментом выключения реостата. Время t0 соответствует началу движения и определяется из условий равенства силы тяги и силы сопротивления:

120t0=200,

откуда

[pic 24]

Для удобства вычислений величину 120t-200 обозначим через 120t1. Тогда

[pic 25]

Где t – время начала выключения реостата.

Дифференциальное уравнение (1) примет вид:

          (2)[pic 26]

Интегрируя уравнение (2), получим

       (3)[pic 27]

Определим постоянную интегрирования С1. При t1 = 0    [pic 28]