Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер

Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер

u(x1,x2,,xn) белгісіз функцияны, x1,x2,,xn тәуелсіз айнымалыларды және белгісіз функцияның дербес туындыларын байланыстыратын теңдеу – дербес туынылы дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Жалпы түрде сызықты емес дербес туындылы дифференциалдық теңдеу:

F(x,x,,x,u,u,,u,, ku )0. 1 2 n x x xk1xkn

Теңдеудіңі ең жогарғы ретті дербес туындысының реті дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің реті болып саналады.

1.1.1 II –ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді класстарға бөлу.

II –ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеуді қарастырайық: F ( x , y , u , u x , u y , u xx , u xy , u yy )  0 (1)

1n1n

x, y – тәуелсіз айнымалылар, u ( x , y ) - белгісіз функция, ux  u ,uy  u ,uxx  2u ,uxy  2u ,uyy  2u - функцияның дербес

x y x2 xy y2 туындылары.

(1) теңдеуді теңбе – теңдікке айналдыратын u ( x , y ) , функциясын оның шешімі деп атайды.

Сызықты дербес туындылы дифференциалдық теңдеу:

A  2 u  2 B  2 u  C  2 u  a  u  b  u  cu  F ( x , y ) (2)

x2 xy y2 x y

Бұл теңдеудің A , B , C , a , b , c коэффициенттері - x , y айнымалыларынан

тәуелді функциялар. Егер олар х,у-тен тәуелсіз болса, онда теңдеу тұрақты коэффициентті деп аталады.

Келесі белгілеуді енгіземіз D  AC  B 2 .

Егер D>0 болса, (2)-теңдеу эллиптикалық типті теңдеу, егер D=0 болса, (2)-теңдеу параболалық типті теңдеу, егер D<0 болса, (2)-теңдеу гиперболалық типті теңдеу,

егер D таңбасы тұрақты таңба сақтамаса