Контрольная робота по "Геометрии"

Контрольная робота № 1

№ 1 А_(1 ) (8;6;4), А_(2 ) (10;5;5), А_(3 ) (5;6;8), А_(4 ) (8;10;7)

а) Уравнение плоскости А_(1 ) А_(2 ) А_(3 ):

|■(x-8&y-6&z-4@2&-1&1@-3&0&4)|=0

-4∙(x-8)-11∙(y-6)-3∙(z-4)=-4x-11y-3z+110=0

Ответ: -4x-11y-3z+110=0

б) Уравнение прямой А_(1 ) А_(4 ):

Каноническое уравнение : (x-x_1)/(x_2-x_1 )=(y-y_1)/(y_2-y_1 )=(z-z_1)/(z_2-z_1 )

А_(1 ) А_(4 ) (0;4;3) (x-8)/0=(y-6)/4=(z-4)/3

Параметрическое уравнение:

{█(x=8,@y=6+4t,@z=4+3t@4y+3z=0)┤

Ответ: (x-8)/0=(y-6)/4=(z-4)/3; {█(x=8,@y=6+4t,@z=4+3t,@4y+3z=0.)┤

в) Уравнение высоты из А_(4 ) на А_(1 ) А_(2 ) А_(3 ):

А_(1 ) А_(2 ) А_(3 ): -4x-11y-3z+110=0, А_(4 ) (8;10;7)

(x-x_0)/A=(y-y_0)/B=(z-z_0)/C

(x-8)/(-4)=(y-10)/(-11)=(z-7)/(-3)

Ответ: (x-8)/(-4)=(y-10)/(-11)=(z-7)/(-3)

г) Угол между ребром А_(1 ) А_(4 ) и гранью А_(1 ) А_(2 ) А_(3 ):

sinα=|Ax_0+By_0+Cz_0 |/(√(A^2+B^2+C^2 )∙√(x_0^2+y_0^2+z_0^2 ))

А_(1 ) А_(2 ) А_(3 ): -4x-11y-3z+110=0, А_(1 ) А_(4 ): (x-8)/0=(y-6)/4=(z-4)/3

sinα=|0-44-9|/(√146∙√25)=|-53|/(5√146)=53/(5√146)≈0,877

α=rcsin(0,877)=61,284°

Ответ: α=61,284°

д) Площадь А_(1 ) А_(2 ) А_(3 )

S=1/2∙|А_(1 ) А_(2 ) |∙|А_(1 ) А_(3 ) |∙sinα=(5√6∙0,987)/2=6,042

|А_(1 ) А_(2 ) |=√(4+1+1)=√6

|А_(1 ) А_(3 ) |=√(9+0+16)=√25=5

sinα=1-(-6+4)/(√6∙5)=0,987

S=(5√6∙0,987)/2=6,042

Ответ: 6,042

е) Объем пирамиды:

V=1/6∙|■(x_1&y_1&z_1@x_2&y_2&z_2@x_3&y_3&z_3 )|=1/6 |■(2&-1&1@-3&0&4@0&4&3)|=53/6≈8,8(3)

Ответ: 53/6

№ 2. Уравнение АВ:

Каноническое: (x-4)/4=(y+4)/6

6(x-4)=4(y+4)

-4y=-6x+40|:(-4)

y=3/2 x-10

Ответ: y=3/2 x-10

б) Уравнение высоты СН:

АВ: (x-4)/4=(y+4)/6,С(3;8)

(АВ) ⃗=n ⃗={4;6}

A(x-x_c )+B(〖y-y〗_c )=0

4x-12+6y-48=0

6y=-4x+60

y=-2/3 x+10

Ответ: y=-2/3 x+10

в) Уравнение медианы АМ:

В(8;2),С(3;8),М(5,5;5),А(4;-4)

М:x=(x_B+x_C)/2=(8+3)/2=11/2=5,5; y=(y_B+y_C)/2=(2+8)/2=10/2=5

Каноническое уравнение:

АМ: (х-4)/(5,5-4)=(у+4)/(5+4);

(х-4)/1,5=(у+4)/9;

9(х-4)-1,5(у+4)=0

9x-1,5y-42=0

-1,5y=-9x+42|:(-1,5)

y=6x-28

Ответ: y=6x-28

г) Точка Н пересечения СН и АВ:

А(4;-4), В(8;2)

Н:x=(x_A+x_B)/2=(4+8)/2=12/2=6;

y=(y_A+y_B)/2=(-4+2)/2=(-2)/2=-1

Ответ: Н(6;-1)

д) Уравнение прямой, проходящей через очку С параллельно АВ:

АВ:y=3/2 x-10, С(3;8)

Уравнение l вычислим по формуле:

y-y_0=k(x-x_0 ), где x_0=3, k=3/2, y_0=8:

y-8= 3/2∙(x-3)

y=3/2 x-9/2+8

y=3/2 x+7/2

Ответ: y=3/2 x+7/2

№ 3 а) lim┬(x→∞)⁡〖(5-2x-3x^2)/(x^2+x+3)=lim┬(x→∞)⁡〖(-3x^2-2x+5)/(x^2+x+3)=lim┬(x→∞)⁡〖(-3-2/x+5/x^2 )/(1+1/x+3/x^2 )=-3〗 〗 〗

б) lim┬(x→1)⁡〖(x^3-1)/(5x^2-4x-1)〗=(0/0)- неопределенность

lim┬(x→1)⁡〖((x-1)(x^2+x+1))/(5x^2-5x+x-1)〗=lim┬(x→1)⁡〖((x-1)(x^2+x+1))/((5x+1)(x-1))〗=lim┬(x→1)⁡〖(x^2+x+1)/(5x+1)〗=1/2=0,5

в) lim┬(x→4)⁡〖(√4x-4)/(x^2-16)〗=(0/0); lim┬(x→4)⁡〖(√4x-4)(√4x+4)/(x-4)(x+4)(√4x+4) 〗=

=lim┬(x→4)⁡〖(4(x-4))/((x-4)(x+4)(√4x+4))=〗 lim┬(x→4)⁡〖4/((x+4)(√4x+4))〗=4/64=1/16;

г) lim┬(x→0)⁡〖(〖tg〗^2 3x)/(10x^2 )〗=(0/0); lim┬(x→0)⁡〖(〖sin〗^2 3x)/(10x^2∙〖cos〗^2 3x)〗=|sin3x~3x|=lim┬(x→0)⁡〖(9x^2)/(10x^2∙〖cos〗^2 3x)〗=

=lim┬(x→0)⁡〖9/(10∙〖cos〗^2 3x)〗=9/10=0,9;

д) lim┬(x→∞)⁡〖((5x-2)/(5x+3))^(3-2x) 〗=lim┬(x→∞)⁡〖(1+(-5)/(5x+3))^(5(-2x+3)/5) 〗=lim┬(x→∞)⁡〖(1+(-5)/(5x+3))^(-2/5 (5x+3) ) 〗=

=e^((-5)∙(-2/5) )=e^2

№ 4. f(x)={█(-2x, x≤0@x^2+1,0<x≤1@2, x>1)┤