Контрольная работа по "Аналитической геометрии"

Аналитическая геометрия

Вариант 9

Задание 1

Цилиндр ∑ в задан своим сечением x2 + 2xy + 2y2 + 4x + 4y +3 = 0 с плоскостью z=0 и направлением  прямолинейных образующих. Найти плоскость, сопряженную направлению  относительно цилиндра ∑.[pic 1][pic 2][pic 3]

Решение:

Так как вектор m параллелен плоскости z =0, то достаточно построить прямую l в плоскости z=0, сопряженную направлению (α,β) относительно кривой x2 + 2xy + 2y2 + 4x + 4y +3 = 0 и провести через нее плоскость параллельную вектору v.

Прямая l задается равенством

α(2a11x + 2a12y + 2a1) + β(2a12x + 2a22y + 2a2) = 0, то есть

x(a11α + a12β) + y(a12α + a22β)+zC +a1α + a2β = 0.

1(2*1*x + 2*1*y + 2*1) + 1(2*1*x+2*1*y + 2*2)=0

2x+2y+2+2x+2y+4 = 0

2x+2y+3=0

Так как искомая плоскость при пересечении с плоскостью z=0 дает прямую l, то её уравнение будем искать в виде

x(a11α + a12β) + y(a12α + a22β) + zC + a1α + a2β = 0,

где коэффициент С найдем из равенства

ξ(a11α + a12β) + η(a12α + a22β) + ζC = 0,

которое выражает ортогональность вектора v и вектора нормали искомой плоскости.

Искомая плоскость задается уравнением

x(a11α+a12β)+y(a12α+a22β)−z ζ [ξ(a11α + a12β) + η(a12α + a22β)]+a1α+a2β = 0.

В нашем примере:

2*x +2*y + 3 +zC = 0

2*(1*1 + 1*1) + 3(1*1 + 2*1) – 13C = 0

4 + 9 -13C = 0

C=1

[pic 4]

[pic 5]

Задание 2

Составить уравнение цилиндрической поверхности, если направляющая лежит в плоскости xOy и имеет уравнение , а образующие параллельны вектору {1;2;-1}.[pic 6]

Решение:

Уравнение цилиндрической поверхности:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

M0 (1, 2, -1)

[pic 10]

x0 найдем из равенства  [pic 11]

x0=z+x

y0 найдем из равенства  [pic 12]

y0=2z+x

Подставим значения x0 y0 в уравнение цилиндрической поверхности, получим

[pic 13]

Задание 3

Составить уравнение канонической поверхности: вершина которой находится в начале координат, а направляющая задана уравнениями

[pic 14]

Решение

Пусть точка М (x,y,z) – произвольная точка канонической поверхности. Проведем через эту точку образующую l, она пересечет направляющую в точке N (x0, y0, z0). Запишем канонические уравнения прямой l, как уравнения прямой ,проходящей через точку N и вершину конуса О(0, 0, 0)

[pic 15]

[pic 16]

Или

[pic 17]

Выразим из последней системы x0 и y0: . Так как точка N лежит на направляющей канонической поверхности, то её координаты должны удовлетворять уравнениям направляющей:[pic 18]

[pic 19]

Подставим найденные выражения во второе уравнение системы

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Тогда

[pic 24]

Подставляем (1) и (2) в первое уравнение системы

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Полученное уравнение является искомым уравнением конической поверхности.

Ответ: [pic 28][pic 29]

Задание 4

Найти уравнения диаметральных плоскостей для поверхности x2 – 10x + 3y2 + 18 = 0, которые бы касались эллипсоида [pic 30]