Контрольная работа по "Аналитической геометрии"
Автор: veronn • Ноябрь 10, 2022 • Контрольная работа • 907 Слов (4 Страниц) • 169 Просмотры
Вариант 2.2
1(РД2.РП). Запишите общее уравнение прямой, проходящей через точку M0(2,−3) параллельно вектору AB, если A(4,5), B(3,−7).
Решение:
Найдём координаты вектора :[pic 1]
[pic 2]
Так как искомая прямая параллельна вектору , то его можно принять в качестве направляющего вектора. [pic 3]
Записываем уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор :[pic 4][pic 5]
[pic 6]
Или:
[pic 7]
[pic 8]
Ответ: – уравнение прямой проходящей через т. параллельно .[pic 9][pic 10][pic 11]
2(А82.Б7). Стороны треугольника ABC заданы уравнениями AB: 4x−y−7=0; BC : x+3y−31=0; AC: x+5y−7=0. Запишите общее уравнение высоты AH.
Решение:
Стороны треугольника заданы уравнениями:[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
Найдём координаты точки , решив систему уравнений:[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
Для составления уравнения высоты , воспользуемся условием перпендикулярности прямых:[pic 19]
[pic 20]
Так как , то [pic 21][pic 22]
Из уравнения стороны [pic 23]
Так как , то [pic 24][pic 25]
Уравнение прямой с угловым коэффициентом , проходящей через точку , имеет вид:[pic 26][pic 27]
[pic 28]
Тогда уравнение высоты с угловым коэффициентом , проходящей через точку , имеет вид:[pic 29][pic 30][pic 31]
[pic 32]
Ответ: – общее уравнение высоты .[pic 33][pic 34]
3(432.БЛ). Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки M1(3,0,4) и M2(1,1,0) перпендикулярно плоскости 2x+y+4z−7=0.
Решение:
Нормальный вектор данной плоскости:
[pic 35]
Найдем координаты вектора :[pic 36]
[pic 37]
Тогда уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости и параллельной вектору можно представить в следующем виде:[pic 38][pic 39]
[pic 40]
Раскроем определитель и получим уравнение искомой плоскости:
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
Тогда уравнение искомой плоскости:
[pic 44]
или
[pic 45]
Ответ: – уравнение искомой плоскости.[pic 46]
4(С35). Найдите расстояние от точки P(2,4,4) до прямой {2x−y+z−2=0, x+y−z−1=0.
Решение:
Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей:[pic 47]
[pic 48]
По общим уравнениям этих плоскостей можно записать их векторы нормалей:
[pic 49]
[pic 50]
Векторы нормалей и перпендикулярны прямой, образованной пересечением плоскостей. [pic 51][pic 52]
Следовательно, её направляющий вектор может быть найден как векторное произведение векторов и :[pic 53][pic 54]
[pic 55]
[pic 56]
Вычислим его длину:
[pic 57]
Определим точку, лежащую на прямой. Для этого решим систему уравнений:
[pic 58]
При получаем:[pic 59]
[pic 60]
Таким образом, точка, лежащая на данной прямой, имеет координаты .[pic 61]
Тогда вектор с началом в точке и концом в точке :[pic 62][pic 63]
[pic 64]
Расстояние от точки до прямой равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и .[pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]
Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах и , используя векторное произведение:[pic 69][pic 70]
[pic 71]
[pic 72]
Тогда площадь параллелограмма равна:
[pic 73]
Тогда:
[pic 74]
Ответ: – расстояние от точки до прямой .[pic 75][pic 76][pic 77]
5(435). Плоскость проходит через прямую {x−y+1=0, y−z−2=0 параллельно вектору AB=(8,4,7). Найдите длину отрезка, отсекаемого этой плоскостью от оси ординат.
Решение:
Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей:[pic 78]
[pic 79]
По общим уравнениям этих плоскостей можно записать их векторы нормалей:
[pic 80]
[pic 81]
Векторы нормалей и перпендикулярны прямой, образованной пересечением плоскостей. [pic 82][pic 83]
...