Афінна геометрія (груповий підхід до геометричних фактів)

КУРСОВА РОБОТА

з геометрії

на тему:

Афінна геометрія (груповий підхід до геометричних фактів)

ЗМІСТ

ВСТУП        3

РОЗДІЛ І. Основні теоретичні факти афінної геометрії        4

1.1        Афінні перетворення        4

1.2        Паралельна проекція як афінне перетворення        6

1.3        Основні властивості афінних перетворень        8

1.4        Основна теорема афінної геометрії        10

РОЗДІЛ ІІ. Приклади розв’язування задач афінної геометрії        13

2.1 Приклади розв’язання задач з афінними перетвореннями        13

2.2 Доведення деяких теорем з використанням основної теореми афінної геометрії.        17

ВИСНОВКИ        21

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ        22

ВСТУП

Геометричні перетворення площини мають важливе значення. Значимість визначається тим, що вони лежать в основі класифікації геометрій, а саме: кожній групі геометричних перетворень відповідає своя геометрія. Цей підхід вперше був запропонований відомим німецьким математиком Феліксом Клейном.

В даній роботі ми зосередили увагу на афінних перетвореннях і афінній геометрії, що відповідає цим перетоворенням.

Мета роботи: Розглянути групу афінних перетворень та описати властивостей, що залишаються незмінними при цих перетвореннях.

Завдання роботи:

• ввести поняття афінного перетворення;
• описати та довести властивості афінних перетворень;
• розглянути приклади задач на застосування афінних перетворень.

Об’єкт дослідження: Афінна геометрія, як група перетворень евклідового простору.

Предмет дослідження: Властивості афінних перетворень.

Робота складається з двох розділів. Перший розділ носить теоретичний характер, в ньому описані основні означення та теореми афінної геометрії. В другому розділі надані приклади розв’язання задач з афінними перетвореннями та доведення деяких теорем, в яких застосовуються методи афінної геометрії.

РОЗДІЛ І. Основні теоретичні факти афінної геометрії

1. Афінні перетворення

Нехай [pic 1] – двовимірний евклідовий простір.

Означення

Ізометрією (рухом) [4] простору [pic 2] називається функція, що відображає [pic 3] на [pic 4] та зберігає відстані.

Нехай [pic 5].

Означення

Евклідовим перетворенням простору [pic 6] називається функція [pic 7] вигляду [pic 8], де [pic 9] – ортогональна матриця другого порядку і [pic 10]

Можна показати [1], що кожна ізометрія площини є евклідовим перетворенням простору [pic 11] і навпаки.

Множина всіх евклідових перетворень простору [pic 12] позначається [pic 13]

Теорема 1

[pic 14] утворює групу відносно операції композиції відображень [1].

Означення

Афінним перетворенням простору [pic 15] називається функція вигляду [pic 16], де [pic 17] – оборотна матриця другого порядку і [pic 18]

Множина всіх афінних перетворень простору [pic 19] позначається [pic 20]

Теорема 2

[pic 21] утворює групу відносно операції композиції відображень.

Доведення:

Перевіримо виконання аксіом групи.

1. Замкненість операції.

Нехай [pic 22] [pic 23] – афінні перетворення. Тоді для будь-якого [pic 24]

[pic 25]

Оскільки [pic 26], [pic 27] за означенням оборотні (невироджені) матриці, то [pic 28] є також оборотною, а тому [pic 29] є афінним перетворенням, таким чином, операція композиції афінних відображень є замкненою.