Дослідження функції двох змінних на екстремум, умовний екстремум

Лекція 22, 23

Тема: Дослідження функції двох змінних на екстремум, умовний екстремум.

План

   1 Екстремуми функції двох змінних. Необхідна і достатня умови екстремуму функції

   2 Найбільше і найменше значення функції двх змінних у замкненій області

1 Екстремуми функції двох змінних. Необхідна і достатня умови екстремуму функції.

Функція багатьох змінних u=f(M)  має максимум (мінімум) в точці  якщо існує такий окіл М (сукупність точок, відстань яких до  менша за певне додатне часло а), для всіх точок М виконується нерівність f(M)>(<)f() при М відмінному від .[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

Приклад 7.3.1. Розглядаючи функцію z =, відзначаємо,  що [pic 5]

. Tобто z ≥ 2 при всіх значеннях x та y, причому найменше значення функції z=-2 досягається при x=-1, y=1.[pic 6]

Екстремумами називають максимуми та мінімуми фінкції багатьох змінних її, а точки, в яких вони мають місце – точками екстремуму.

Критичними точками для функції u=f( називають точки, яких всі частинні похідні рівні нулю або не існують.[pic 7]

Приклад 1. Знайдемо стаціонарні точки функції з попереднього прикладу z =[pic 8]

                                                  [pic 9][pic 10]

Таким чином, точка M(-1:1) є єдиною стаціонарною точкою даної функції.

Приклад 2. Знайдемо стаціонарні точки функції z = [pic 11]

[pic 12]

Таким чином, точка M(0;0) є єдиною стаціонарною точкою даної функції.

Необхідна умова існування екстремуму функції u=f() полягає в тому, що точка «підозріла на екстремум» обов'язково повинна бути критичною.[pic 13]

Таким чином, при знаходженні екстремумів функції багатьох змінних перш за все визначають її критичні точки. Проте визначення того, чи є критична точка точкою екстремуму, і якщо є - то якого саме, вявляється більш складною процедурою, ніж для функції однієї змінної.

Наведемо достатні умови екстремуму для функції двох змінних:

Нехай - Критична точка функції z = f (х,у), в деякому околі якої її другі частинні похідні    неперервні, якщо  то: [pic 14][pic 15][pic 16]

1) При  , точка  є точкою максимуму;[pic 17][pic 18]

2) При  , точка  є точкою мінімуму;[pic 19][pic 20]

3) При  , точка  не є точкою екстремуму;[pic 21][pic 22]

4) В інших випадках функція вимагає

поглибленого дослідження, на методах

якого ми зупинятись не будемо.

Приклад 3.  Дослідимо стаціонарну точку М(-1;1) функції  . Оскільки         . [pic 23][pic 24]

Тоді    [pic 25]

    ∆=[pic 26]

Отже, в точці М(-1;1) дана функція має локальний мінімум. В той же час,

оскільки функція має неперервні похідні, то цей локальний мінімум є також

глобальним,  що було показано у прикладі 10.

Специфічним для функції багатьох змінних є поняття умовного

екстремуму, яке виявляється дуже важливим в економічних дослідженнях.

Нехай, наприклад, аргументи функції z=f(x,y) задовольняють умову φ(х;у)= 0, і стоїть задача знаходження умовних екстремумів, тобто таких

точок, що належать лінії  l (з рівняння φ(х,у)=0), в яких значення функції

f(х,у) більші (менші) ніж в оточуючих точках цієї лінії. В найпростіших  випадках вдається виразити з рівності φ(х,у)=0 аргумент у через аргумент x(y=y(x)) і звести, таким чином задачу до знаходження екстремумів функції однієї змінної u=f(x,y(x))/.

Приклад  4. Якщо постає задача пошуку екстремальних значень функції z=x+y , то це і є задача пошуку умовного екстремуму вказаної функції за наявності рівняння зв'язку (між невідомими) +=1.[pic 27][pic 28][pic 29]

В  ішних випадках користуються методом Лагранжа знаходження умовного екстремуму: