Моделдерді сызықтандыру әдістері

                                                                       3-ші дәріс                              

                            3 Моделдерді сызықтандыру әдістері

                       3.1 Сызықтық және бейсызықтық түсінігі

Жылжымайтын объектілер  бірден өз жағдайын өзгертуі мүмкінемес,сондықтан типті статикалық модельдердің орнына , туынды құралдары (сигналдардың өзгеру жылдамдығы) бар, дифференциалдық теңдеулермен сипатталынатын динамикалық модельдердер қолданылады.
Көптеген жағдайларда,  неғұрлым дәл модельдер сызықты емес дифференциалдық теңдеулер сипатталынады.Осыған байланысты, бұл жағдайда , оларды зерттеу үшін ,сызықтық жүйелердің теориясын қолдану мақсатында, дифференциалдық теңдеулерді сызықтандыру қажет.
Сызықтандыру идеясы реттеу жүйесі сигналдарды « жұмыс нүктесінен» - кейбір тепе-теңдік ұстанымынан аз ауытқиды  және олардың туындылары нөлдік болып табылады.

Осы себептен, осындай «жұмыс нүктелерден» ауытқуларды бақылау мәселелерін зерттеу үшін сызықтық модельдерді қолдану жеткілікті.

Іс жүзінде аралас әдіс жиі пайдаланылады: модель құрылымы (кіріс пен шығысты қосатын теңдеудің формасы) теориядан алынады, ал коэффициенттер эксперименттік әдіспен анықталады.

Мысалы, кеменің қозғалысын бейнелейтін теңдеулердің жалпы формасы жақсы белгілі, бірақ осы теңдеулерде көптеген факторларға (кеменің корпусының пішіндері, оның кедірлері және т.б.) байланысты коэффициенттер бар, сондықтан оларды теориялық түрде табу өте қиын (немесе мүмкін емес). Бұл жағдайда теңдеулердің белгісіз коэффициенттерін анықтау және оларды арнайы әдістермен бассейндерде сынау үшін ауқымды модельдер құрылады. Авиация өнеркәсібінде сол мақсаттар үшін аэродинамикалық құбырлар қолданылады.

Кез-келген басқару объектілер үшін әр –түрлі факторларды ескеретін (немесе ескермейтін) әртүрлі модельдерді құрастыруға болады. Әдетте бірінші кезеңде, егжей-тегжейлі модель жасау үшін , мүмкіндігінше, егжей-тегжейлі жағдайларды сипаттауға тырысады. Дегенмен, жүйеге қойылатын талаптарды қанағаттандыратын теориялық басқару заңын  есептеу қиынға соғады. Тіпті оны есептеу мүмкін болса да, оны іске асыру өте қиын немесе өте қымбат болуы мүмкін.

Екінші жағынан, зерттеуші маңызды емес сияқты көрінетін кейбір «бөлшектерді» тастай отырып, объектінің моделін жеңілдете алады. Оңайлатылған модель үшін бақылау заңы да қарапайым болып шығады және оның көмегімен қажетті нәтижеге қол жеткізуге болады. Алайда, бұл жағдайда толық модельді (және нақты объект) басқарылатынына кепілдік жоқ.Әдетте компромисстік шешім қолданылады. Олар бұл күрделі модель үшін реттеуіш жобалауға тырысып, қарапайым модельдерден бастайды. Бұл сипат, ол модельдердің робастность деген сипатты қасиеті, деп аталады. 

Операциялардың арасында ең қарапайымы сызықтық операциялар.

Сызықтық операциялардың екі қасиеті бар :

1)Тұрақты санға көбейту:

U [α ∙ x] = α ∙ U [x]

α - кез келген тұрақты сан;

2)Суперпозиция принципі: егер кірісте екі сигнал сомасын беру керек болса, онда шығыста сол оператордың жеке сигналдарға реакцияларының сомасы болады, яғни

[pic 1]

Сызықтық операторлармен сипатталған модельдер сызықты деп аталады. Олармен  ең дамыған және нақты практикалық мәселелердің көпшілігін нақты шешуге мүмкіндік беретін сызықтық жүйелер теориясы әдістерімен жұмыс істеуге мүмкіндік береді.

Дегенмен, нақты жүйелердің  модельдері көбінесе бейсызықты .Бейсызықты  операторларды зерттеу әдістері математикалық тұрғыдан өте күрделі, бейсызықты жүйелердің теориясында, дәл шешімдер тек өте тар ауқымдарға байланысты  есептерге ғана белгілі.

Бұл жағдайда не істеу керек? Көбінесе  объектінің бейсызықты  моделін сызықты түрде, яғни шамамен сызықты модельді құрастырады. Содан кейін, осы модель негізінде, басқару заңын сызықты жүйелер теориясы нақты әдістерін пайдалана отырып болжалайды. Ақыр соңында, қабылданған реттеушіні компьютерлік модельдеу арқылы бейсызықты  модельде тексеріледі.