Основы теории катастроф

МИНОБРНАУКИ РОССИИ[pic 1]

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Санкт-Петербургский государственный

  Архитектурно-строительный университет»

Кафедра Строительной физики и химии

Реферат

  Основы теории катастроф

Студентка группы 2-ЗКб-1

Гусейнова Зарина Вадимовна

Научные руководитель:

Антонов Владимир Михайлович

Санкт-Петербург

2021г        

Оглавление

1.Введение        3

2.Бифуркация и Устойчивость        3

3.Типы катастроф        6

4.Теория катастроф Кювье        11

Заключение        12

Список литературы        13

1.Введение

В учебных пособиях по концепциям современного естествознания, философии и другим дисциплинам, посвящённым краткому и сокращённому изложению современной естественнонаучной картины мира, рассказ о теории катастроф часто подменяется примерами реальных катастрофических изменений состояний физических объектов, связанных с их рождением, гибелью, перестройкой структуры. На самом деле теория катастроф имеет к этим катаклизмам лишь косвенное отношение. Теория катастроф – это математическая теория, изучающая структурную устойчивость нелинейных функций.

2.Бифуркация и Устойчивость

Одной из задач дифференциального исчисления является нахождение экстремумов (максимумов и минимумов) функции. В простейшем случае эта задача сводится к определению корней уравнения , где y’(x) – производная функции у(х).[pic 2]

Рассмотрим функции, графики которых показаны штриховыми линиями на рисунке 1

,    ,         (2)[pic 3][pic 4][pic 5]

[pic 6]

Рис. 1  Структурная устойчивость функций

Их классификация основана на поведении их производных.

У первой из приведённых функций, , производная является линейной функцией. Для линейных уравнений существует одно стационарное состояние, для нелинейных — несколько. Поэтому пороговый характер самоорганизации связан с переходом из одного стационарного состояния в другое. Потеря системой устойчивости, есть катастрофа, т.е. скачкообразное изменение, возникающее при плавном изменении внешних условий. — процесс упорядочения элементов одного уровня в системе за счёт внутренних факторов, без внешнего специфического воздействия (изменение внешних условий может также быть стимулирующим воздействием). В зависимости от того, линейными или нелинейными дифференциальными уравнениями описывается динамическая система, её относят к линейной или нелинейной системе. Для описания эволюции нелинейных систем во времени основным математическим аппаратом являются нелинейные дифференциальные уравнения. Они задают зависимость скорости изменения каждой переменной от значений самих переменных.  [pic 7]

Если считать, например, что функция    связана с потенциальной энергией, а её производная – с силой, то соответствующую систему (грузик на пружинке, математический маятник и т.п.) можно назвать линейной (“возвращающая сила” прямо пропорциональна отклонению от положения равновесия). Тогда остальные две функции описывают нелинейные системы.[pic 8]

Обратим внимание, что все три функции имеют нулевую производную при х = 0. Однако только у двух из них,  и  , в этой точке имеется экстремум (минимум), в то время как для функции  значение х = 0 является точкой перегиба.[pic 9][pic 10][pic 11]

Представим себе, что функции  описывают потенциальную энергию в поле силы тяжести. Тогда небольшой шарик будет скатываться вдоль этих линий либо в устойчивое положение равновесия (рис. 1 а,в), либо “в бесконечность” (рис. 1 б).[pic 12]

Однако наибольший интерес представляет анализ поведения экстремумов функции при их слабом возмущении

 εx,  ,     (3)[pic 13][pic 14][pic 15]

Где ε > 0 – малый периметр, который называется управляющим параметром. С его помощью можно “пошевелить” исходные функции, чтобы оценить их структурную устойчивость. Графики функций (3) приведены на рис. 1 сплошными линиями.