Основы теории катастроф
Автор: cheburek12 • Май 22, 2024 • Реферат • 2,866 Слов (12 Страниц) • 50 Просмотры
МИНОБРНАУКИ РОССИИ[pic 1]
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Санкт-Петербургский государственный
Архитектурно-строительный университет»
Кафедра Строительной физики и химии
Реферат
Основы теории катастроф
Студентка группы 2-ЗКб-1
Гусейнова Зарина Вадимовна
Научные руководитель:
Антонов Владимир Михайлович
Санкт-Петербург
2021г
Оглавление
1.Введение 3
2.Бифуркация и Устойчивость 3
3.Типы катастроф 6
4.Теория катастроф Кювье 11
Заключение 12
Список литературы 13
1.Введение
В учебных пособиях по концепциям современного естествознания, философии и другим дисциплинам, посвящённым краткому и сокращённому изложению современной естественнонаучной картины мира, рассказ о теории катастроф часто подменяется примерами реальных катастрофических изменений состояний физических объектов, связанных с их рождением, гибелью, перестройкой структуры. На самом деле теория катастроф имеет к этим катаклизмам лишь косвенное отношение. Теория катастроф – это математическая теория, изучающая структурную устойчивость нелинейных функций.
2.Бифуркация и Устойчивость
Одной из задач дифференциального исчисления является нахождение экстремумов (максимумов и минимумов) функции. В простейшем случае эта задача сводится к определению корней уравнения , где y’(x) – производная функции у(х).[pic 2]
Рассмотрим функции, графики которых показаны штриховыми линиями на рисунке 1
, , (2)[pic 3][pic 4][pic 5]
[pic 6]
Рис. 1 Структурная устойчивость функций
Их классификация основана на поведении их производных.
У первой из приведённых функций, , производная является линейной функцией. Для линейных уравнений существует одно стационарное состояние, для нелинейных — несколько. Поэтому пороговый характер самоорганизации связан с переходом из одного стационарного состояния в другое. Потеря системой устойчивости, есть катастрофа, т.е. скачкообразное изменение, возникающее при плавном изменении внешних условий. — процесс упорядочения элементов одного уровня в системе за счёт внутренних факторов, без внешнего специфического воздействия (изменение внешних условий может также быть стимулирующим воздействием). В зависимости от того, линейными или нелинейными дифференциальными уравнениями описывается динамическая система, её относят к линейной или нелинейной системе. Для описания эволюции нелинейных систем во времени основным математическим аппаратом являются нелинейные дифференциальные уравнения. Они задают зависимость скорости изменения каждой переменной от значений самих переменных. [pic 7]
Если считать, например, что функция связана с потенциальной энергией, а её производная – с силой, то соответствующую систему (грузик на пружинке, математический маятник и т.п.) можно назвать линейной (“возвращающая сила” прямо пропорциональна отклонению от положения равновесия). Тогда остальные две функции описывают нелинейные системы.[pic 8]
Обратим внимание, что все три функции имеют нулевую производную при х = 0. Однако только у двух из них, и , в этой точке имеется экстремум (минимум), в то время как для функции значение х = 0 является точкой перегиба.[pic 9][pic 10][pic 11]
Представим себе, что функции описывают потенциальную энергию в поле силы тяжести. Тогда небольшой шарик будет скатываться вдоль этих линий либо в устойчивое положение равновесия (рис. 1 а,в), либо “в бесконечность” (рис. 1 б).[pic 12]
Однако наибольший интерес представляет анализ поведения экстремумов функции при их слабом возмущении
εx, , (3)[pic 13][pic 14][pic 15]
Где ε > 0 – малый периметр, который называется управляющим параметром. С его помощью можно “пошевелить” исходные функции, чтобы оценить их структурную устойчивость. Графики функций (3) приведены на рис. 1 сплошными линиями.
...