Шеңбер мен дөңгелек

Дәріс 7. Шеңбер мен дөңгелек

Жоспар

1. Шеңбер ұғымы және оның ұзындығы
2. Дөңгелек  ұғымы және оның  ауданы
3. Сегмент және сектор

СОӨЖ 3. Кеңес беру және СӨЖ 3 қабылдау

СӨЖ 3 Көпбұрыштар, шеңбер мен дөңгелек тақырыптарына презентациялар дайындау. Ең кемі жеті есеп шығару

Анықтама. Берілген шеңбердің центры деп аталатын нүктеден бірдей қашықтықта жататын нүктелердің геометриялық орны (тұйық қисық сызық) шеңбер деп аталады .

Шеңбер центрін оның кез келген нүктесімен қосатын R кесіндісі (немесе осы кесіндінің ұзындығы) шеңбер радиусы деп аталады.

Барлық шеңбер үшін олардың ұзындықтарының диаметрлеріне қатынасы тұрақты сан болады. Бұл қатынас гректің π=3,14159… әрпімен белгіленеді (қ. Пи саны деп оқыл.). π саны - иррационал сан.

Шеңбер ұзындығы L=2πR формуласымен анықталады.

Хорда - математикада қисық сызықтың немесе беттің кез-келген екі нүктесін қосатын түзу

Анықтама. Жазықтықтың шеңбермен шектелген бөлігі (шеңбердің өзімен қоса)  және центрі бар бөлігі бөлігі дөңгелек деп аталады.

Дөңгелектің ауданы S=πR²-қа тең.

[pic 1]

Шеңбердің бойындағы екі нүктені қосатын және центр арқылы өтетін кесіндіні диаметр деп атаймыз. Диаметр D әрпімен белгіленеді. Диаметрдің бойында екі радиус орналасады. Сондықтан диаметр екі радиусқа тең: D=2 R.

Диаметр дөңгелекті екі жарты дөңгелекке бөледі. Шеңбердің центрі, дөңгелектің де центрі, шеңбердің радиусы дөңгелектің де радисы. Егер екі шеңбер (дөңгелек) беттестіргенде бір-бірімен дәл беттесе, онда ондай екі шеңбер (дөңгелек) өзара тең болады. Тең шеңберлердің (дөңгелектердің) радиустары да тең.

Шеңбердің бөлігі доға деп аталады.

Дөңгелектің бөліктері

Дөңгелек сегменті - хорда және доғамен шектелген жазықтық бөлігі.

Дөңгелек секторы - екі радиус арасындағы дөңгелек бөлігі.

[pic 2] 

Мысалдар

1. Киіз үйдің табаны дөңгелек болса, оның керегелері шеңбер бойымен орналасады.
2. Жердің параллель сызықтары – шеңберлер.
3. Кейбір аспаптардың шкалалары да шеңбер бойымен орналасады.

Айталық, сағат циферблатның шеңбері 12 үлкен бөлікке, 60 кіші бөлікке бөлінген. Үлкен бөліктің әрқайсысы 1 сағатқа сәйкес, кіші бөлігінің әрқайсысы 1 минутқа сәйкес.

Шеңберді салуаяғын

Циркульдің инесін қандай да бір О нүктесіне шаншып тұрып, қарындашы бар аяқшасын осы О нүктесін айналдыра сызық сызамыз. Сонда қарандаш О нүктесінен бірдей қашықтықтағы нүктелерден құралған шеңбер деп аталатын тұйық сызық сызып шығады. О нүктесі шеңбердің центрі деп аталады.

Теорема. Кез келген үшбұрышқа сырттай шеңбер сызуға болады. Оның  центрі үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген орта перпендикулярларының қиылысу нүктесі (ол үшбұрыштың бірінші тамаша нүктесі) болады (1 - сурет).

[pic 3]

                                     1 - сурет

Үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген орта перпендикуляр  бір нүктеде қиылысады.

Теорема. Кез келген үшбұрышқа іштей шеңбер сызуға болады. Оның  центрі үшбұрыштің ішкі бұрыштарының үш биссектрисасының қиылысу нүктесі (ол үшбұрыштың екінші тамаша нүктесі) болады.

Осы дәріс бойынша тест тапсырмалары және сұрақтар.

1. Центрі берілген нүкте болатын неше шеңбер болады?

A) Ешқандай.                    B) Біреу.                C) Екеу.                D) Шексіз көп.

2. Бір нүкте арқылы неше шеңбер жүргізуге болады?

A) Біреу.                B) Екеу.                C) Үшеу.                D) Шексіз көп.

3. Екі нүкте арқылы неше шеңбер жүргізуге болады?

A) Ешқандай.        B) Біреу.                C) Екеу.                D) Шексіз көп.

4. Центрі О нүктесі және радиусы R болатын дөңгелектен тыс жататын М нүктесі қандай қатынасты қанағаттандырады?

A) OM ≥  R.                B) OM > R.                C) OM ≤  R.                D) OM < R.

5. Шеңбердің диаметрі 10 см. Шеңбердің центрінен 3 см қашықтықта болатын түзу осы шеңберге қатысты қалай орналасады?

A) Қиылыспайды.        B) Қиылысады.         C) Жанасады.        

D) Анықталмайды.

6. Шеңбердің диаметрі 8 см. Шеңбердің центрінен 4 см қашықтықта болатын түзуосышеңберг еқатыстықалайорналасады?

A) Қиылыспайды.        B) Қиылысады.        C) Жанасады.        D) Анықталмайды.

7. Шеңбердің диаметрі 6 см. Шеңбердің центрінен 5 см қашықтықта болатын түзу осы шеңберге қатысты қалай орналасады?

A) Ортақ нүктесі жоқ.        B) Қиылысады.                C) Жанасады. D) Анықталмайды.

8. Екі шеңбердің радиустары 10 см және 15 см. Олардың центрлерінің арақашықтығы 20 см. Осы шеңберлер өзара қалай орналасады?

A) Ортақ нүктесі болмайды.                B) Қиылысады.        

C) Іштей жанасады.        D) Сырттай жанасады.

9. Екі   6 см және 8 см. Олардың центрлерінің арақашықтығы 14 см. Осы шеңберлер өзара қалайорналасады?

A) Ортақ нүктесі болмайды.                B) Қиылысады.                

C) Іштей жанасады.        D) Сырттай жанасады.

10. Екі шеңбердің радиустары 10 см және 20 см. Олардың  центрлерінің арақашықтығы 10 см. Осы шеңберлер өзара қалай орналасады?

A) Ортақ нүктесі болмайды.                B) Қиылысады.                

C) Іштей жанасады.        D) Сырттай жанасады.

11. Сәйкесінше центрлері O1, O2 және радиустары R1, R2 болатын  екі шеңбер берілген. Олар үшін қандай қатынас орындалады?

A) O1O2 <R1+R2.        B) O1O2 = R1+R2. C) O1O2 >R1+R2. D) O1O2 = |R1 – R2|.

12. Сәйкесінше центрлері O1, O2 және радиустары R1,R2 болатын екі шеңбер іштей жанасады. Олар үшін қандай қатынас орындалады?

A) O1O2 = |R1 – R2|.        B) O1O2 >|R1 – R2|.        C) O1O2<|R1 – R2|.        D) O1O2 = R1+R2.

13. Шеңберден тыс жатқан нүктеден оған екі жанама жүргізілген. Осы нүктеден шеңберге дейінгі ең қысқа қашықтық шеңбердің радиусына тең. Жанамалардың арасындағы бұрышты табыңдар.

        A) 30о.                 B) 45о.        C) 60о.                D) 120о.

14. Шеңбердегі нүктеден екі хорда жүргізілген, олардың әрқайсысы шеңбердің радиусына тең. Хордалардың арасындағы бұрышты табыңдар.

        A) 30о.               B) 45о.         C) 90о.                D) 120о.

15. Берілген нүктеден шеңберге жүргізілген жанамалар өзара 60о бұрыш жасайды. Берілген нүктемен шеңбердің центріне дейінгі     қашықтық 24 см. Радиусын табыңдар.

A) 6 см.                B) 8 см.                C) 12 см.                D) 24 см.

Аудан ұғымы

2. Үшбұрыштың ауданы.

3. Төртбұрыштың ауданы. Дөңгелектің ауданы.

Aудан (геометриялық мағынада), S - геoметриялық пішіннің екі өлшемді кеңістіктен алатын бөлігін сипаттайтын шама. Aудан - геометриялық пішіндерге байланысты негізгі шамалардың бірі болып табылады. Қарапайым жағдайда аудан пішін ішіне сиятын бірлік квадраттардың санымен өлшенеді. Ауданды жобалап өлшеу үшін планиметр құралын қолданады.

Ауданы тең пішіндерді тең шамалы пішіндер деп атайды.

Аксиомалар

1. Тең фигуралардың аудандары да тең.
2. Егер фигура қандай да бір сызықпен екі басқа фигураларға бөлінсе, онда берілген фигураның ауданы осы бөліктердің аудандарының қосындысына тең.
3. Қабырғасы бір өлшем бірлігіне тең квадраттың ауданы 1-ге тең.

Аудан анықтамасы

Берілген жиын егер Жордан ішкі өлшемі сыртқы өлшеміне тең болса Жордан бойынша өлшемді болып табылады

Аудан — келесі қасиеттері орындалатын функция:

• Аудан оң, яғни аудан теріс бола алмайды;
• Аддитивті шама, яғни пішін ауданы осы пішінді құрайтын бөлшектер аудандарының қосындысына тең;
• Инварианттілік, конгруэнтті пішіндердің аудандары тең;
• Нормаланған, яғни бірлік квадраттың ауданы 1-ге тең.

Осы анықтамадан ауданның өспелілігі шығады, яғни пішін бөлігінің ауданы толық пішін ауданынан аспайды.

Тест тапсырмалары және сұрақтар

1. Гипотенузасы 5 см, бір катеті 4 см болатын тікбұрышты үшбұрыштың ауданын табыңдар.

А) 10 см2.                В) 5 см2.                С) 12 см2.                D) 6 см2.

2. Гипотенузасы с-ға тең болатын тікбұрышты теңбүйірлі үшбұрыштың ауданын табыңдар.

А).                В) .        С) 2c2.        D) c2.[pic 4][pic 5][pic 6]

3. Қабырғасы 1-ге тең теңқабырғалы үшбұрыштың ауданын табыңдар.

А) 2.                        В) .                        С) .                        D) .[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

4. Теңбүйірлі үшбұрыштың табаны 6 см, бүйір қабырғасы 10 см. Оның ауданын табыңдар.

А) 3 см2.                В) 27 см2.                С) 16 см2.                D) 30 см2.[pic 11]

5. Үшбұрыштың қабырғалары 10 см және 16 см, олардың арасындағы бұрыш 60°. Үшбұрыштың ауданын табыңдар.

А) 40 см2.          В) 40 см2.        С) 80 см2.          D) 40 см2.[pic 12][pic 13]

Сөйлемді толықтырыңыз (жалғастырыңыз)