Симетрія і точні розв'язки рiвнянь математичноi фiзики

СИМЕТРІЯ І ТОЧНІ РОЗВʼЯЗКИ РІВНЯНЬ МАТЕМАТИЧНОЇ

ФІЗИКИ

І. Побудувати однопараметричну групу перетворень, яка породжується інфінітезимальним оператором:

1) ∂ ₜ + (t+y)∂ ₓ + (t+x)∂ ᵧ;

Ми можемо побудувати однопараметричну групу перетворень, породжену заданим нескінченно малим оператором, за допомогою методу груп Лі. Метод груп Лі є потужною технікою для знаходження симетрій і точних розв'язків рівнянь математичної фізики.

Припустимо, що група перетворень має вигляд:

x' = X(t, x, y, ε), y' = Y(t, x, y, ε), t' = T(t, x, y, ε)

де ε - параметр групи перетворень, а X, Y, T - гладкі функції від своїх аргументів.

Ми можемо отримати симетрії точок Лі диференціального рівняння в частинних похідних (ДРЧП), пов'язаного з заданим нескінченно малим оператором, знайшовши векторне поле, яке залишає ДРЧП інваріантним. Іншими словами, нам потрібно знайти векторне поле V таке, що

V[u] = λu

де u - розв'язок ЗДР, λ - константа, а [u] позначає дію векторного поля на u.

Використовуючи формулу похідної Лі, ми можемо виразити дію заданого нескінченно малого оператора на функцію u у вигляді

(∂ ₜ + (t+y)∂ ₓ + (t+x)∂ᵧ)[u] = ∂u/∂t + (t+y)∂u/∂x + (t+x)∂u/∂y

Тепер ми можемо використати анзац для групи перетворень та правило ланцюга для обчислення похідної Лі від u під дією V:

V[u] = (∂ₜX + (t+y)∂ₓX + (t+x)∂ᵧX)∂u/∂t + (∂ₓX)∂u/∂x + (∂ᵧX)∂u/∂y

+ (∂ₜY + (t+y)∂ₓY + (t+x)∂ᵧY)∂u/∂x + (∂ₓY)∂u/∂y

+ (∂ₜT + (t+y)∂ₓT + (t+x)∂ᵧT)∂u/∂y

Прирівнявши це до λu та зібравши коефіцієнти ∂u/∂t, ∂u/∂x та ∂u/∂y, отримаємо наступну систему диференціальних рівнянь з частинними похідними:

∂ₜX + (t+y)∂ₓX + (t+x)∂ᵧX = λX

∂ₜY + (t+y)∂ₓY + (t+x)∂ᵧY = λY

∂ₜT + (t+y)∂ₓT + (t+x)∂ᵧT = λT

∂ₓX = λY

∂ᵧX = λT

∂ₓY = 0

∂ᵧY = 0

Розв'язуючи ці рівняння, отримуємо наступну однопараметричну групу перетворень:

x' = x + ε(t+y), y' = y + ε(t+x), t' = t + ε

де ε - параметр групи перетворень.

Ця група перетворень породжує сім'ю розв'язків ЗДР, пов'язаних із заданим нескінченно малим оператором. Щоб отримати явні розв'язки, потрібно розв'язати ЗДР з початковими або граничними умовами за допомогою методу редукції симетрії.

Метод груп Лі є потужним інструментом для знаходження симетрій і точних розв'язків рівнянь математичної фізики. Він дозволяє систематично будувати сім'ї розв'язків ЗДР, використовуючи властивості симетрії рівнянь. Метод редукції симетрії використовується для зведення ЗДР до системи звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) або до системи диференціальних рівнянь з частинними похідними в меншій кількості змінних. Розв'язки зведеної системи потім перетворюються назад до вихідних змінних за допомогою групи симетрії.

Таким чином, ми побудували однопараметричну групу перетворень, породжену заданим нескінченно малим оператором за допомогою методу груп Лі. Група перетворень породжує сім'ю розв'язків ЗДР, асоційованих із заданим оператором. Явні розв'язки можна отримати за допомогою методу редукції симетрії.

IІ. Знайти максимальну групу симетрії рівняння:

=-;[pic 1][pic 2][pic 3]

Наведене рівняння є двовимірним рівнянням теплопровідності, яке описує дифузію тепла в середовищі. Щоб знайти його максимальну групу симетрії, скористаємося методом симетрії Лі.