Решение прикладных задач с использованием производной

Решение прикладных задач с использованием производной (ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ)

1. Закон изменения температуры T тела в зависимости от времени t задан уравнением T=0,2t2. С какой скоростью нагревается это тело в момент времени t=10?

Решение:

v=T'=(0,2t2)'=0,2*2*t=0,4t;            v(10)=0,4*10=4

2. Сила тока I изменяется в зависимости от времени t по закону I=2t2-5t (I – в амперах, t – в секундах). Найдите скорость изменения тока в конце 10-й секунды.

Решение:

v=I'=(2t2-5t)'=4t-5;         v(10)=4*10-5=40-5=35

3. Производительность труда рабочих цеха в течение смены описывается эмпирической формулой P(x)=-2,53x2+20,24x+111,1 , где x – рабочее время в часах. Вычислите скорость роста производительности труда при x=2ч. Найдите, в какой момент времени производительность труда окажется максимальной.

Решение:

v= P'(x)=-2,53*2х+20,24=-5,06х+20,24;         v(2)=-5,06*2+20,24=-10,12+20,24=10,12

Производительность труда будет максимальной в точке максимума, где первая производная равна нулю, а вторая производная меньше нуля

Приравняем к нулю первую производную: -5,06х+2,24=0    и найдём х

-5,06х=-20,24

х=20,24/5,06=4 (ч.)

Вторая производная при х=4ч. принимает отрицательное значение:P''(x)=(-5,06х+20,24)'=-5,06

4. Найти тангенс угла наклона касательной к параболе y=x2-x+1 к оси Ох в точке x1=-1.

Решение:

Найдем производную: y'=2x-1. Т. к. x1=-1, найдем значение производной в данной точке:

y'(-1)=2*(-1)-1=-3. Следовательно, k=tgα=-3.

5. Составить уравнения касательной к параболе y=3x2-x  в точке x1=-1.

Решение:

Найдем производную заданной функции и вычислим ее значение в точке x1=-1:

y'=6x-1,      k=y'(-1)= 6*(-1)-1=-6-1=-7. Значение функции в точке x1=-1 равно: y1=3*(-1)2+1=4. Подставим полученные значения в уравнения касательной:

y-y1=f'(x1)(x-x1)

y-4=-7(x+1)

y=-7x-3

y+7x+3=0 - уравнение касательной.