Использование математических методов в решении Прикладных инженерных задач
Автор: Egor19 • Июнь 18, 2019 • Курсовая работа • 3,872 Слов (16 Страниц) • 675 Просмотры
Министерство обороны Российской федерации
Военный институт (инженерно-технический)
Курсовая работа по математике
«Использование математических методов в решении
Прикладных инженерных задач»
(часть 1)
«Применение уравнений математической физике
В решении инженерных задач»
Волновое уравнение
Факультет 4
423 учебная группа
Выполнил : к-т Мельников
Проверил Волкова
Санкт-Петербург
2019г.
Постановка начально-краевой задачи для волнового уравнения
При расчетах свайных фундаментов на вертикальные колебания принимается следующая расчетная модель. Свая моделируется упругим стержнем длиною h. Ось ОХ параллельна стержню. Пусть стержень в положении равновесия « рассечен» полностью x= const . При этом будем также говорить, что сечение имеет координату х . Концы ( x=0 и x=h) стержня неподвижны. Поперечные сечения стержня совершают малые колебания. Продольное смещение от положения равновесия сечения стержня с координатой х в момент времени t обозначим U( x;t) . Функция U( x;t) удовлетворяет волновому уравнению . Найти распределение смещений U( x;t) по свае , если в начальный момент точки сваи выведены из состояния равновесия на величину U( x;0) = f1(x) и
ꝺ𝑈 им придана скорость ( x;0) = f2(x). [pic 1]
𝜕𝑡
Математическая формулировка задачи
Найти решение U( x;t) волнового уравнения
[pic 2]
При 0 ≤ x ≤ h, t ≥ 0 , удовлетворяющее начальным условиям
U( x;0) = f[pic 3]( x;0) = f2(x) при 0 ≤ x ≤ h
И граничным условиям
U(0; 𝑡) = 0, ꝺ𝑈 ( h;t) = 0 при t ≥ 0
[pic 4]
Решение начально-краевой задачи для волнового уравнения
Для волнового уравнения
1.1 Постановка задачи Решить волновое уравнение ( 0 ≤ x ≤ h и t ≥ 0)
[pic 5] (1)
При начальных условиях:
U( x;0) =
[pic 6] ( x;0) = 0 (2)
И граничных условиях :
U(0; 𝑡) = 0, ꝺ𝑈 ( h;t) = 0 (3)
[pic 7]
Где В=2,6 , С=9,4 , h=4,4.
Задание
- Методом Фурье найти точное аналитическое решение (в виде суммы ряда) начально-краевой задачи (1) - (3).
- Построить график функции U (x1; t), где х1= h/2. Для этого , ограничиваясь тремя первыми ненулевыми членами ряда, вычислить
приближенно U( x1;t), U( x1;t1), U( x1;2t1), U( x1;3t1), U( x1;4t1) , где 𝑡1 =
[pic 8].
- Оценить погрешность вычислений значения U (x1; t1).
1.2. Вывод методом разделения переменных задачи Штурма- Лиувилля и ее решение
Ищем частные решения волнового уравнения
[pic 9]
Отличные от тождественного нуля при 0
U(0,t) = 0
ꝺ𝑈
[pic 10] (h,t) = 0
Частные решения ищем в виде произведения двух функций , каждая из которых является функцией только одной переменной
U (x; t) =y(x)T(t) (4) [pic 11][pic 12]
Подстановка представления (4) в уравнение (1) приводит к линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами для функции y(x) :
...