Решение нелинейных уравнений

3. Лабораторная работа №1

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Целью работы является изучение методов и алгоритмов   нахождения корней нелинейных уравнений.

Содержание работы

1. Метод деления отрезка пополам (метод бисекции);

2. Метод секущих (хорд);

3. Метод  простых итераций;

4. Метод Ньютона (касательных);

Перечень необходимых материалов,  приборов, оборудования

Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad.

Методические указания

1. Метод деления отрезка пополам (метод бисекции)

Допустим, что на отрезке [а,b], расположено искомое значение корня  х=с, т. е. с ϵ [а,b]. В качестве начального приближения корня с0 принимаем середину этого  отрезка:

[pic 1]

Далее исследуем значения функции F(x) на концах отрезков [а, со] и [со,b], т.е. в точках а, со, b. Тот из отрезков, на концах которого F(x) принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; Допустим, что нам удалось найти отрезок [а,b], на котором расположено искомое значение корня поэтому его принимаем в качестве нового отрезка [a1,b1]. Вторую половину отрезка [а,b], на которой знак F(x) не меняется, отбрасываем. В качестве первого приближения корня принимаем середину нового отрезка

[pic 2]

и т. д.

Таким образом, k-е приближение вычисляется как

[pic 3]

После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, а после k - итераций он сокращается в 2к раз:

[pic 4]

Иллюстрация данного метода приведена на рисунке 1.

Процесс вычислений завершается, когда длина текущего интервала становится меньше заданной величины точности -[pic 5] нахождения корня.

[pic 6]

Рисунок 1.1 Графическая интерпретация нахождения корней

2. Метод секущих (хорд)

В этом методе кривая f(x) заменяется прямой линией – хордой, стягивающей точки (a, f(a)) и (b, f(b)). В зависимости от знака выражения f(a)*f //(a) метод хорд имеет два варианта, изображенных на рис. 1.2 а, б.

[pic 7]

а)                                                             б)

Рисунок 1.2  Графическая интерпретация метода хорд: а) F(a)F //(a)>0 б) F(a)F //(a)<0 

Пусть f(a)*f//(a)>0 (рис.2а). Тогда x0=b, точка a будет оставаться неподвижной. Следующее приближение x1 находим как точку пересечения хорды, соединяющей точки (a, f(a)) и (x0, f(x0)) с осью x.

В аналитической геометрии выводится формула, задающая уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (х1; у1) и (х2; у2):

[pic 8]

Таким образом, для f(a)*f//(a)>0   точка пересечения хорды с осью x:

[pic 9]

На следующей итерации в качестве x0 надо взять вычисленное значение x1.

[pic 10]

Пусть теперь f(a)f //(a)<0 (рис.2б). Тогда x0=a, точка b неподвижна. Проведем хорду, соединяющую точки (b, f(b)) и (x0, f(x0)):

[pic 11]

Вычисляем точку пересечения хорды с осью x: .

[pic 12]

На следующей итерации в качестве x0 надо взять вычисленное значение x1

[pic 13]

Повторять операцию следует до тех пор, пока xi-xi-1<[pic 14] не станет меньше или равно заданному значению погрешности.