Решение нелинейных уравнений (СНАУ)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГАОУ ВО «Крымский федеральный университет имени В. И. Вернадского»

Физико-технический институт

Кафедра компьютерной инженерии и моделирования

Лабораторная работа №3

по курсу «Алгоритмы и методы вычислений»

на тему: «Решение нелинейных уравнений (СНАУ)»

Симферополь, 2020

Лабораторная работа №3

Тема: Решение нелинейных уравнений и систем (СНАУ)

Ключевые понятия: нелинейные и трансцендентные уравнения, методы дихотомии, золотого сечения, Ньютона, секущих, Ньютона-Рафсона.

Цель работы:

1. Изучить и научиться использовать на практике наиболее эффективные численные алгоритмы решения нелинейных, трансцедентных уравнений и СНАУ.
2. Изучить методы итерационного уточнения корней: метод дихотомии (половинного деления), метод золотого сечения, метод простой итерации, метод Ньютона (касательных), метод секущих, метод обратной квадратичной интерполяции.
3. Изучить методы решения СНАУ: метод Зейделя, Ньютона-Рафсона, итерационные методы, основанные на минимизации функционала невязки.
4. Написать программу, реализующую два метода численного решения СНАУ: Дихотомии, или золотое сечение + Ньютона, или секущих; и решение СНАУ методом Ньютона-Рафсона. Пример взять из таблицы к лаб. работе №3, в соответствии со своим списочным номером.
5.  Дополнительные задания (бонусы к оценке):
   Решение нелинейной системы из 6 уравнений с 6 неизвестными.

Перед выполнением лабораторной работы рекомендуем:

1. Изучить презентацию лектора курса: «Численные методы решения нелинейных уравнений и СНАУ», материалы доступны на One Drive.
2. Прочитать соответствующие разделы книги:
   Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение: Пер. с англ.- М.: Мир, 1998.- 575 с.

В соответствии с индивидуальным заданием, решены следующие задачи:

1. Изучены и закреплены на практике наиболее эффективные алгоритмы решения нелинейных, трансцедентных уравнений и СНАУ.
2. Реализована программа решения нелинейных уравнений методом Ньютона
3. Реализована программа решения СНАУ методом Ньютона Рафсона.

Ход работы:

Вариант – 3

В соответствии с вариантом задания требуется реализовать программу решения линейных алгебраических уравнений методом Ньютона (Формула 1), а также программу решения систем линейных алгебраических уравнений методом Ньютона Рафсона (Формула 2):

[pic 1],                                  (1)

[pic 2].                                        (2)

Рассмотрим сущность программируемых методов.

Метод Ньютона(касательных) основан на стратегии постепенного уточнения корня. Формулу уточнения можно получить из геометрической иллюстрации идеи метода (Рисунок 1).

[pic 3]

Рисунок 1 – Геометрическая иллюстрация метода Ньютона.

На отрезке существования корня выбирается начальное приближение x0. К кривой f(x) в точке А с координатами (x0, f(x0)) проводится касательная.

Для i-го приближения можно записать формулу итерационного процесса метода Ньютона:

[pic 4], где x0 ∈ [a;b].                  (4)

Условие окончания расчета:

[pic 5].                                                       (5)

Метод Ньютона использует значения производной, что значительно ускоряет итерационный процесс. При этом, чем больше значение модуля производной в окрестности корня (чем круче график функции), тем быстрее сходимость.

Достоинства метода: высокая скорость сходимости; обобщается на системы уравнений.