Решение нелинейных волновых уравнений методом Фурье

ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ

[pic 1]

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

По дисциплине        Математика        

        (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

Тема работы:        Решение нелинейных волновых уравнений методом Фурье        

Выполнил: студент гр.                                                                

        (шифр группы)        (подпись)        (Ф.И.О.)

Оценка:        

Дата:        

Проверил

руководитель работы:                                                                 

        (должность)        (подпись)        (Ф.И.О.)

Санкт-Петербург

2021

Задание: Решить неоднородное дифференциальное уравнение методом Фурье

Дано:

            [pic 2][pic 3][pic 4]

  [pic 5][pic 6]

Решение

Будем искать решение выражения в виде , где[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Таким образом, для решения нашей задачи достаточно найти решения двух промежуточных задач (решение этих задач разобрано нами ранее).

Ищем v(x,t) в виде .[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

Итак, получаем решение первой промежуточной задачи:

[pic 22]

[pic 23]

Теперь перейдем к поиску второй вспомогательной функции . Представляем  и  в виде рядов Фурье по собственным функциям однородной задачи Штурма – Лиувилля. [pic 24][pic 25][pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

Найдем :[pic 29]

[pic 30]

Для нахождения  осталось решить задачу Коши:[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Общее решение имеет вид:

[pic 34]

Решая задачу Коши, получаем:

[pic 35]

Итак, получаем промежуточное решение второй задачи: