Расчетно-графические работы по "Высшей математике"

"ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ  ПО  ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВУ"

Кафедра  высшей  математики  и  физики

Расчетно-графические работы

ВАРИАНТ №25

Работу выполнила

студентка группы

Москва 2016

        Найти неопределённые интегралы:

25        [pic 1].

        Решение.

        При вычислении данного интеграла применим метод интегрирования по частям:

[pic 2];

[pic 3]

        Ответ: [pic 4].

Задача №2.

        Найти определённые интегралы:

25        [pic 5].

        Решение.

        Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

[pic 6],

где [pic 7] − первообразная для функции [pic 8].

        Интеграл найдём, используя метод замены переменной в определённом интеграле.

        Положим: [pic 9]. Тогда:

[pic 10];

[pic 11];

[pic 12];

нижний предел:        [pic 13];

верхний предел:        [pic 14].

        Перейдём в интеграле к новой переменной и вычислим его:

[pic 15]

        Ответ: [pic 16].

        Задача №3.

        Найти неопределённые интегралы:

25        [pic 17].

        Решение.

        П од знаком интеграла неправильная дробь. Выделим у неё целую часть:

[pic 18];

[pic 19]

        Оставшуюся правильную дробь разложим на простейшие дроби и найдём неопределённые коэффициенты:

[pic 20];

[pic 21];

[pic 22];

при [pic 23]:         [pic 24];

при [pic 25]:         [pic 26];

при [pic 27]:         [pic 28];

[pic 29].

        Таким образом, для подынтегральной дроби получаем:

[pic 30].

        Подставим разложение в интеграл:

[pic 31]

        Ответ: [pic 32].

        Задача №4.

        Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями:

25        x = 2√2 · cost, y = 5√2 · sint;    y = 5 (y > 5).

        Решение.

        Линия, заданная параметрически, представляет собой эллипс с центром в начале координат и полуосями  [pic 33].

        Неравенство [pic 34] задаёт полуплоскость, лежащую выше прямой [pic 35].

        Следовательно, искомая фигура представляет собой часть эллипса, лежащую выше прямой [pic 36].

        Найдём координаты точек пересечения прямой и эллипса:

[pic 37];

[pic 38];

[pic 39].

        Построим линии и выделим фигуру, которую они образуют.

[pic 40]

                                                                               C

                                                        B                        [pic 41]     A

                                                       D                                         E

        Площадь криволинейной трапеции, ограниченной на интервале [a; b] снизу осью Ox, а сверху кривой y = y(x), находится по формуле:

[pic 42].

        Искомую площадь криволинейной трапеции ACB найдём как разность двух площадей:

[pic 43].

        Для фигуры ACBDE имеем:

[pic 44]

        Для фигуры ABDE имеем: