Распределение дискретных величин

Лекция 1. Распределение дискретных величин.

Определение. Функцией распределения случайной величины X называется функция y = F(x)  с областью определения (−∞;+∞) заданная по правилу: F(x) = P(X<x).

Свойства функции распределения

1. Вероятность попадания на интервал [x1,x2) равна:

P(x1≤X<x2) = F(x2) - F(x1).                                                        (1)

2. Функция распределения является неубывающей функцией. Это значит, что при движении вдоль оси Ox слева направо ее значения возрастают или (по крайней мере) остаются постоянными.

3. Если функция распределения непрерывна, то вероятность события P(X=x)=0, где x - произвольное значение.

Схематический вид графика функции распределения:

                                       y

                                   1[pic 1]

                                   0                                                  x

Рис 4.1. Схематический график функции распределения

Функция распределения дает самую полную информацию о случайной величине.

 Определение. Случайная величина называется дискретной, если она может принимать конечное или счетное число значений, которые можно расположить в ряд в порядке возрастания и пронумеровать с помощью членов натурального ряда чисел. Функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянной.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если она имеет непрерывную функцию распределения и может принимать любое значение из некоторого интервала (a,b) открытого или замкнутого. Случаи a=−∞ и b=+∞ не исключаются.

Случайная величина является смешанной, если она обладает свойствами дискретной и непрерывной случайной величины.

Ряд распределения

Для дискретных случайных величин вместо функции распределения удобно задавать ряд распределения. Он состоит из двух строчек (конечных или бесконечных). В первой строке указаны возможные значения случайных величин, во второй соответствующие вероятности, с которыми могут приниматься эти значения. Ряд распределения задает закон распределения дискретной случайной величины. Он имеет вид:

Так как в результате испытания случайная величина обязательно принимает одно из указанных значений, то сумма вероятностей в строке равна 1. Т. е.

p1+p2+ ... +pn+...=1.

Функция распределения дискретной случайной величины однозначно определяется по ряду распределения следующим образом. Пусть значения дискретной случайной величины записаны в порядке возрастания. Тогда функция

[pic 2]

Пример1:

Построить многоугольник распределения и функцию распределения для дискретной случайной величины (количество бракованных деталей в партии)

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Для его построения возможные значения случайной величины (хi) откладываются по оси абсцисс, а вероятности рi- по оси ординат; точки Аi c координатами (хi ,рi) соединяются ломаными линиями. Смысл многоугольника распределения в визуализации конкретных вероятностей возникновения тех или иных значений случайной величины. Многоугольник распределения имеет связь с плотностью распределения и в данном примере напоминает плотность нормального распределения для случайной величины.