Вероятности событий и дискретные случайные величины

КР №7 «Вероятности событий и дискретные случайные величины»

Специализации УПП, УПЛ, УПГ.

Вариант 10

(10) Вероятности четырёх независимых в совокупности событий [pic 1], [pic 2], [pic 3], [pic 4] соответственно равны [pic 5]; [pic 6]; [pic 7] и [pic 8]. События [pic 9] и [pic 10] заданы с помощью словесного описания. Используя операции алгебры событий, выразите события [pic 11] и [pic 12] через [pic 13], [pic 14], [pic 15], [pic 16]. Найдите вероятности событий [pic 17] и [pic 18].

Решение

Выражаем событие B1 и B2 через события A1, A2, A3 и A4 и находим их вероятности.

Так как событие B1 заключается в том, что «произойдёт событие A1 или не произойдёт ни одно из четырёх событий», то можно записать:

[pic 26].

Так как событие B2 заключается в том, что «произойдёт событие A1 или хотя бы одно из событий A2, A3 и A4», то есть событие B2 происходит, если:

или произойдёт событие A1, и не важно, произошли остальные три события;

или произойдёт хотя бы одно из событий A2, A3 и A4, то есть не важно, произошло событие A1 или нет, но:

произойдёт событие A2, а события A3 и A4, не произойдут,

или произойдёт событие A3, а события A2 и A4 не произойдут,

или произойдёт событие A4, а события A2 и A3 не произойдут,

или произойдут события A2 и A3, а событие A4 не произойдёт,

или произойдут события A2 и A4, а событие A3 не произойдёт,

или произойдут события A3 и A4, а событие A2 не произойдёт,

или произойдут все три события A2, A3 и A4.

Тогда можно записать:

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32].

Вероятность этих событий, учитывая независимость событий A1, A2, A3 и A4, равны:

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36];

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

[pic 40].

Ответ: [pic 41];    [pic 42].

(20). По вероятностям событий [pic 43] и [pic 44]. Найти вероятности событий [pic 45] и [pic 46].

Решение

Считаем события A и B независимыми.

Находим вероятность события C:

[pic 51]

[pic 52].

Находим искомую условную вероятность, используя её определение:

[pic 53]

[pic 54].

Ответ: 0,94;   0,1489.

(30) Из урны, содержащей [pic 55] белых и [pic 56] черных шаров случайным образом вынимают 2 шара. Найти вероятности следующих событий:

1. оба шара белые;
2. оба шара черные;
3. шары разных цветов.

Решение

Всего 7+4=11 шаров.

Количество способов выбора 2х шаров из 11:

[pic 59].

Количество способов выбора двух белых шаров (из 7):

[pic 60]

Количество способов выбора двух черных шаров (из 4):