Радикал Джекобсона в алгебре и анализе

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………...………………………………..…..……...3

§ 1.Радикал Джекобсона в коммутативной алгебре…………………..………...5

1.1. Элементы теории колец. ………………………………………….………....5

1.2. Максимальные идеалы ……………………………...……………….….….16

1.3. Радикал Джекобсона…………………………………………………..……21

1.4. Вычисление радикала Джекобсона конечных колец…………………..…22

§ 2. Элементы банаховой алгебры как непрерывные функции на   максимальном спектре…………………………………………………….....….26

2.1. Элементы теории банаховых алгебр…...…………………...…………...…26

2.2. Основная теорема теории коммутативных банаховых алгебр……….…. 28        

§ 3. Нильрадикал………………………………………………………………....31

3.1. Простые идеалы…………………………………………………………..…31

3.2. Нильрадикал………………………………………………..………………..32

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….....37

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ………………………….…38

ВВЕДЕНИЕ

        Выпускная квалификационная работа посвящена изучению радикала Джекобсона.

Целью работы является изучение радикала Джекобсона, его применения в алгебре и в функциональном анализе и рассмотрение примеров.

Задачи:

1) Рассмотреть радикал Джекобсона в коммутативной алгебре;

2) Привести примеры вычисления радикала Джекобсона;

3) Рассмотреть применение радикала Джекобсона в функциональном анализе;

4) Привести примеры колец, в которых радикал Джекобсона совпадает с нильрадикалом.

        Методика исследования.

В работе используются: метод неопределённых коэффициентов, бином Ньютона, метод математической индукции и вычисление фактор – колец по идеалам.

        Теоретическая ценность работы заключается в изучении радикала Джекобсона и в рассмотрении его связей с нильрадикалом.

        Практическая ценность заключается в применениях радикала Джекобсона в алгебре и в функциональном анализе.

Структура и объем выпускной квалификационной  работы.        

Работа состоит из введения, трех параграфов, заключения общим объемом 39 страниц и списка используемой литературы, состоящего из 16 наименований.

        В параграфе 1 приводятся базовые понятия и результаты из теории коммутативных колец, рассматриваются максимальные идеалы и их примеры в алгебре функций и в конечных кольцах, приводится определение радикала Джекобсона и рассматривается критерий принадлежности элемента кольца радикалу Джекобсона.

        В параграфе 2 рассматриваются применения радикала Джекобсона в функциональном анализе и, в частности, приводится основная теорема теории коммутативных банаховых алгебр.

        В параграфе 3 вводятся понятия нильпотентного элемента и нильрадикала кольца, приводится сравнение нильрадикала и радикала Джекобсона кольца и, в частности, доказывается теорема о совпадении нильрадикала и радикала Джекобсона для колец многочленов.

§ 1. Радикал Джекобсона в коммутативной алгебре.

        В этом параграфе дается определение радикала Джекобсона для коммутативных колец, приводятся его описания и рассматриваются примеры вычисления радикала Джекобсона.

1.1. Элементы теории колец

В этом пункте приводятся базовые понятия теории коммутативных колец, используемые в работе.

Определение 1: Множество K, на котором заданы две алгебраические операции: "+" - сложение и "" – умножение, называется кольцом, если выполняются следующие условия:[pic 1]

1. ( K , +) - абелева группа;

2. "" -  ассоциативно, то есть (xy)  z = x  (yz) для любых x, y, z ∈ K;[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

3. "" - дистрибутивно относительно сложения, то есть[pic 7]

 (x + y)  z = x  z + y  z[pic 8][pic 9][pic 10]