Основы математического моделирования социально-экономических процессов

Содержание

2. Линейное программирование……………………………………….……..….3

7. Анализ временных рядов………………………………………….……..……8

1. Метод анализа иерархий………………………………………….……..……16

6. Линейный парный регрессионный анализ…………………………….…….27

8. Линейный множественный регрессионный анализ……………….........…..37

9. Анализ зависимостей в слабых шкалах ………………………………......…51

1.Теория игр……………………………………………………………….…..…55

Список использованной литературы…………………………………….….….59

2. Линейное программирование

Решение можно проводить либо графическим методом, либо с использованием компьютера в программе MS Excel. (15 баллов)

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 2x1+4x2 → max, при системе ограничений:

3x1+2x2≤11, (1)

-2x1+x2≤2, (2)

x1-x2≤0, (3)

x1 ≥ 0, (4)

x2 ≥ 0, (5)

Шаг №1. Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Построим уравнение 3x1+2x2≤11 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 5.5. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 3.67. Соединяем точку (0;5.5) с (3.67;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:3 • 0 + 2 • 0 - 11 ≤ 0, т.е. 3x1+2x2 - 11≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

Построим уравнение -2x1+x2≤2 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 2. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = -1. Соединяем точку (0;2) с (-1;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: -2 • 0 + 1 • 0 - 2 ≤ 0, т.е. -2x1+x2 - 2≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

Построим уравнение x1-x2≤0 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 1. Находим x2 = 1. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 1. Находим x1 = 1. Соединяем точку (1;1) с (1;1) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:1 • 0 - 1 • 0 - 0 = 0, т.е. x1-x2 - 0≤ 0 в полуплоскости на прямой.

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 2x1+4x2 → max.

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 2x1+4x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 4). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке E. Так как точка E получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

3x1+2x2=11

-2x1+x2=2

Решив систему уравнений, получим: x1 = 1, x2 = 4

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F(X) = 2*1 + 4*4 = 18