Нақты сандар. Жиынның толықтығы. Іштей салынған кесінділер принципі

1- тәжірибелік сабақ. Нақты сандар. Жиынның толықтығы. Іштей салынған кесінділер принципі. Сандық жиынның ең үлкен жəне ең кіші элементтері. Жиынның жоғарғы жəне төменгі шегі. Супремум мен инфимум.

Сан — мөлшерді сипаттайтын, санауда пайдаланылатын абстракт нәрсе.

Жиын ұғымы. Жиын туралы ұғым-математиканың ең негізгі ұғымы. Жиын деп әртүрлі заттардың жиынтығын атайды. Жиынның құрамындағы заттар оның элементтері деп аталады. Әдетте, жиынды латын алфавитінің үлкен [pic 1], ал оның сәйкес элементтерін – кіші [pic 2] әріптерімен белгілейді. Жиынды құрайтын элементтерінің саны шектеулі де, шексіз көп болуы да мүмкін. [pic 3] арқылы немесе [pic 4] арқылы өрнектеледі.

Негізгі сандар жиыны

Сандар жиынының мынандай түрлері бар:

• Натурал сандар — натурал сандар жиынын Ν деп белгілейді.
• Бүтін сандар — бүтін сандар жиынын Z деп белгілейді.
• Рационал сандар — рационал сандар жиынын Q деп белгілейді.
• Иррационал сандар — иррационал сандар жиынын әдетте I деп белгілейді.
• Нақты сандар — нақты сандар жиынын R деп белгілейді. Нақты сандардың өздері алгебралық және трансценденттік болып бөлінеді.
• Комплекс сандар — комплекс сандар жиынын C деп белгілейді.

• N={1, 2, 3, …} - натурал сандар жиыны;

• Z={0, ±1, ±2, ±3, …} - бүтін сандар жиыны;

• Q={} - рационал сандар жиыны;[pic 5]

R - нақты сандар жиыны кеңінен қолданылады

Х жиынына тиісті барлық х – тер үшін М саны табылып,  теңсіздігі орындалатын болса, ол жиын жоғарыдан шенелген деп аталады (символдар арқылы  )[pic 6][pic 7]

М саны Х жиынының жоғары шегі деп аталады.

Кез келген  саны жоғарғы шегі болады. Жоғарыдан шенелген жиынның жоғарғы шектерінің ең кішісін (егер ол бар болса) оның дәл жоғарғы шегі деп атап sup X символымен белгілейді.

Х жиынына тиісті барлық х – тер үшін m саны табылып,    теңсіздігі орындалатын болса, ол жиын төменнен шенелген деп аталады (символдар арқылы  ). Төменнен шенделген жиынның төменгі шектерінің ең үлкенін (егер ол бар болса) оның дәл төменгі шегі деп атап inf X символымен белгілейді.[pic 8][pic 9]

1 Мысал. [pic 10] және [pic 11] жиындары берілсін. Осы жиындардың бірігу, қиылысу, айырым табайық.

Шешуі:

Бірігуі               [pic 12];

Қиылысуы      [pic 13];

айырым жиыны       [pic 14];       ал Y/X=?

Сандар жиындары мынадай заңдылықтарға бағынады: [pic 15]; [pic 16]. Барлық сандар жиындарының бірігу жиыны – нақты сандар жиыны, оны сандар өсі деп, [pic 17] символымен белгілейді.

Есептің шығару үлгілері:

Мысал 1.A ={−1,2,5,7} және  B ={−1,0,5,6,7},  

A∪ B ={−1,0,2,5,6,7}; A∩ B ={−1,5,7}

Мысал 2 A ={−1,2,5,7}, B ={−1,0,5,6,7},