Методы одномерной оптимизации, основанных на сокращении интервала неопределенности

                                                   Цель работы

Изучение  методов одномерной оптимизации, основанных

на  сокращении интервала неопределенности. Овладение практическими навыками решения одномерных задач минимизации унимодальных функций при помощи методов:

1. метод дихотомии (половинного деления);
2. метод Фибоначчи;
3. метод золотого сечения;
4. метод квадратичной аппроксимации;

                 Задание.

Определить:

1. минимум функции f(x)=x^2-x*exp(-x) на интервале [0...1] с погрешностью e = 0.005, используя вышеперечисленные методы;
2. минимум функции f(x) = 1/x+(lnx)^2 на интервале [1...3] с погрешность e = 0.012, используя вышеперечисленные методы.

        1. Алгоритм метода дихотомии;

1. Проверяем условие /b-a/<2*e, где e – заданная

погрешность вычисления. Если это условие      выполняется, переходим к пункту 1.6,иначе–к пункту 1.2;

1. Делим интервал поиска [a..b] пополам, и

вычисляем две абсциссы, расположенные симметрично относительно центра интервала точки x=(a+b)/2; x1 = (a+b)/2-e/2 и

  X2 = (a+b)/2 + e/2;

1.3) Вычисляются значения функции в точках x1,x2:      

  Y1=f (x1), y2=f (x2);

1.  Поверяем условие y1>y2, если оно выполняется, то   полагаем b=x2 и идем к пункту 1.1, иначе к  пункту 1.5;
2.  Полагаем a=x1 и идем к пункту 1.1;

  1.6) Выводим на печать x_min = (a+b)/2 и вычисляем                                                                              

     Y_min=f (x_min);

Результаты расчетов по методу дихотомии сведены в таблицах 1.1 и 1.2.

Этапы приближения методом дихотомии для функции

F (x) = x^2-x*exp (-x) на интервале [0...1] приведены в таблице 1.1

              Таблица 1.1[pic 1]

n                  a                      b

1                  0                   1.00000

2                  0                   0.50250

3               0.24875                0.50250

[pic 2]

  Минимальное значение x_min = 0.37562 достигается при использовании данного метода за 3 итерации.

  Этапы приближения методом дихотомии для функции y(x)=1/x+(lnx)^2 на интервале [1..3] приведены в таблице 1.2

                   Таблица 1.2.[pic 3]

      N                a                      b

      1              1.00000                3.00000

      2              1.00000                2.00600

      3              1.00000                1.50900

      4              1.24850                1.50900

      5              1.37275                1.50900

      6              1.37275                1.44687

        [pic 4]

     Минимальное значение x_min = 1.40981 достигается при использовании данного метода за 6 итераций.

Для наглядности результатов графики исследуемых функций приведены на рисунках 1,2.

               2.Алгоритм метода Фибоначчи;

2.1)Вводим a, b, e. Вычисляем, какое кол-во чисел

      Фибоначчи необходимо для стягивания интервала

      неопределенности до размеров меньших, чем e;                          

1. Присваиваем F[0]=0, F[1]=1. Открываем цикл по i    от 2 до n (кол- во чисел Фибоначчи ) в котором вычисляем F[i]=F[i-1]+F[i-2];
2.  x1=a;

  2.4) x2=a+((b-a)/F[n]*F[n-1]+(e*(-1)^n)/(F[n]);

  2.5) y2=f(x2);

  2.6) x3=b;

  2.7) k=1;

  2.8) метка 1:x4=x3+x1-x2;

  2.9) y4=f(x4);

 2.10) Проверяем условие y4>y2, если оно выполняется то

       переходим к пункту 2.14, иначе к пункту 2.11;              

 2.11) Проверяем условие x2<x4, если оно выполняется,

       то переходим к пункту 2.13, иначе переходим к