Методы одномерной минимизации унимодальной функции

СОДЕРЖАНИЕ

1 Условие задания        3

2 Решение        4

2.1 Построение графика целевой функции        4

2.2 Метод дихотомии        4

2.2 Метод золотого сечения        7

2.3 Метод квадратичной аппроксимации        10

3 Выводы        14

ПРИЛОЖЕНИЕ А        15

1 Условие задания

Для заданной целевой функции  найти на отрезке  точку экстремума и значение целевой функции в этой точке тремя методами с заданными параметрами точности поиска .[pic 2][pic 3][pic 4]

Заданная целевая функция:

Begin

              R1 := Sin((Degree(x,2)*5+x-4)/5);

              R2 := Coh((degree(x,3)+3*Degree(x,2)+5*x+8)/(3*x+9));

              VarF := R1+R2-1.0;

End;

2 Решение

2.1 Построение графика целевой функции

В Приложении А представлен код для задания целевой функции (файл Source.cpp) и построения её графика (файл Graph_of_func.m). На рисунке 1 представлен график целевой функции, полученный в результате выполнения кода.

[pic 5]

Рисунок 1 – График целевой функции

По графику видно, что в данном случае необходимо будет искать точку минимума. Функция является унимодальной, поэтому к ней применимы методы дихотомии, золотого сечения и последовательной квадратичной аппроксимации.

2.2 Метод дихотомии

В Приложении А представлена программа, реализовывающая метод дихотомии (Source.cpp). На вход данной программы поступают левая и правая граница отрезка и точность вычислений. Результатом выполнения функции являются точка минимума, значения целевой функции в данной точке, количество итераций метода и массив интервалов неопределенности для каждой итерации. Для метода дихотомии на шаг накладывается условие , поэтому было выбрано значение .[pic 6][pic 7]

В Приложении А представлен код построения графиков интервалов неопределенности от номера итерации (файл Graph_of_metod.m). На рисунках 2-5 представлен результат выполнения данной функции для параметров точности поиска  соответственно.[pic 8]

[pic 9]

Рисунок 2 – График интервалов неопределенности от номера итерации для метода дихотомии при [pic 10]

[pic 11]

Рисунок 3 – График интервалов неопределенности от номера итерации для метода дихотомии при [pic 12]

[pic 13]

Рисунок 4 – График интервалов неопределенности от номера итерации для метода дихотомии при [pic 14]

[pic 15]

Рисунок 5 – График интервалов неопределенности от номера итерации для метода дихотомии при [pic 16]

В таблице 1 показаны результаты применения метода дихотомии для разных параметров точности поиска.