Математические доказательства. Примеры «правдоподобных» рассуждений, приводящих к ложным результатам (математические софизмы)

Реферат

Математические доказательства. Примеры «правдоподобных» рассуждений, приводящих к ложным результатам (математические софизмы)

Брянск 2017

Оглавление

Введение        3

Что такое математический софизм        4

Равенство неравных величин        6

Все ли утверждения математики верны        9

Неравенство одинаковых величин        14

Меньше превышает больше        17

Заключение        19

Список использованной литературы        20

Введение

Математическим доказательством называют рассуждение, целью которого является обоснование истинности какого-либо утверждения, так называют цепочку логических умозаключений, которая показывает, что утверждение верно.

Отдельно выделяют «правдоподобные» суждения, приводящие к ложным результатам, используя «запрещенные действия», либо не учитывая условия теорем, формул и правил.

Именно такие рассуждения и называют математическими софизмами. Они помогли повысить точность формулировок и глубже осознать понятия математики за всю ее историю.

Далее мы подробнее ознакомимся с понятием «математического софизма», познакомимся с некоторыми примерами таких суждений и разберем ошибки, часто встречающиеся в подобных логических цепочках.

Что такое математический софизм

Понятие «софизм» произошло от греческого – «sophisma», что переводится как уловка или выдумка, софизм – обманчивое доказательство, где правильность заключения лишь кажется, порождается исключительно личным впечатлением, которое вызвано недостаточным анализом. Математический софизм, в свой черед – это такое утверждение, в аргументации которого запрятаны незаметные, а порой и достаточно хитрые ошибки.

За всю историю математики возможно столкнуться с немалым количеством нестандартных и любопытных софизмов, их разрешение иногда являлось импульсом к новым свершениям, откуда потом вырастали свежие софизмы.

Согласно практике поиск ошибок, встречающихся в софизмах, осознание причин их возникновения приводят к рациональному постижению математики, развитию логики и внимательности, навыков мышления. К тому же это гораздо полезнее, нежели анализ решения стандартных, «безошибочных», задачек.

Выделяют несколько характерных ошибок, присущих софизмам:

• применение запретных действий;
• игнорирование условий теорем, формул и правил;
• ошибки в чертежах;
• заблуждения собственных выводов.

Бывает иногда, ошибки, что были сделаны в софизме, искусно запрятаны: даже квалифицированным математикам потребуется достаточно много времени, чтобы выявить их – так можно проследить связь математики и философии.

Известно, что философы Древней Греции были основателями софизмов, строили свои суждения на простейших аксиомах, а это удостоверяет связь двух древнейших наук в софизмах. Философы 4-5 века до нашей эры, достигавшие больших успехов в логике, называли себя софистами. В 5 веке появились педагоги «красноречия», которые величали свою миссию как приобретение и распространение мудрости, они стали называть себя так же, софистами.

Так случилось, что с софизмом стала ассоциироваться идея о намеренной фальсификации, утверждали, что первостепенная задача любого софиста – показать самый жуткий аргумент самым лучшим через различные хитрые уловки речи.

Софизмы сыграли огромную роль в развитии математики: повышают строгость математических суждений и помогают уяснить понятия и методы науки. Эту роль можно сравнить с местом неумышленных заблуждений в математических исследованиях, в частности и великими умами.

Усвоение же ошибок в рассуждениях зачастую помогало развитию математики.

Далее рассмотрим некоторые примеры таких «правдоподобных» суждений.

Равенство неравных величин

Рассмотрим первый, казалось бы, простейший пример №1 «единица равна двум»:

1. Известно, что .[pic 1]
2. Прибавили к частям равенства .[pic 2]
3. Получили .[pic 3]
4. Переписали равенство через полные квадраты: .[pic 4]
5. Извлекли из его частей квадратный корень: .[pic 5]

Теперь можно утверждать, что . Но так ли это?[pic 6]