Лагранж көбейткіштер әдісі. Теориялық тәсілі

Қазақстан Республикасыныңғылым және жоғары білім министрлігі

Қорқыт Ата атындағы Қызылорда университеті

Инженерлі – технологиялық институты

«Компьютерлік ғылымдар» БББ

РЕФРАТ

Тақрыбы : Лагранж көбейткіштер әдісі. Теориялық тәсілі

Студент: Темирбеков Диас

Тобы: ВТПО-22-31

Оқытушы: Джалбирова Ж.Т.

Қызылорда 2023 ж.

Кіріспе

Жозеф Луи Лагранж  (1736-1813) көрнекті француз математигі және механик. Динамикалық есептерді шешу үшін жалпы аналитикалық өдісін ұсынған. Бойлық иілу құбылысы зерттеуді үлкен үлес қосқан

Лагранж көбейткіштерінің әдісі (ағылш. "Lagrange' s method of undetermined multipliers") - мақсатты функцияның "шартты" экстремумын (минималды немесе максималды мән)анықтауға мүмкіндік беретін оңтайландыру есептерін шешудің сандық әдісі

[pic 1]

оның айнымалыларына теңдіктер түрінде берілген шектеулер болған кезде (яғни рұқсат етілген мәндер аймағы анықталған)

[pic 2]

[pic 3]- бұл функция аргументінің мәндері (басқарылатын параметрлер) функцияның мәні экстремумға ұмтылатын нақты доменде. "Шартты" экстремум атауын қолдану функцияның экстремумын іздеу кезінде рұқсат етілген мәндер аймағын шектейтін айнымалыларға қосымша шарт қойылғандығына байланысты.

Шартты оңтайландыру. Лагранж көбейткіштерінің әдісі

Лагранж мультипликаторларының әдісі функцияны шартсыз оңтайландыру мәселесіне түрлендіруге рұқсат етілген мәндер жиынында мақсатты функцияның шартты экстремумын табу мәселесіне мүмкіндік береді.

Егер функциялар [pic 4] және [pic 5] өздерінің ішінара туындыларымен бірге үздіксіз болса, онда келесі шарт орындалатын бір уақытта нөлге тең емес λ айнымалылары болады:

[pic 6]

Осылайша, рұқсат етілген мәндер жиынында мақсатты функцияның экстремумын іздеуге арналған Лагранж көбейткіштерінің әдісіне сәйкес болашақта оңтайландырылған L(x, λ) Лагранж функциясын жасаймыз:

[pic 7]

мұндағы λ анықталмаған Лагранж көбейткіштері деп аталатын қосымша айнымалылардың векторы.

Осылайша, f(x) функциясының шартты экстремумын табу мәселесі L(x, λ) функциясының шартсыз экстремумын табу мәселесіне дейін азайды.

Әрі қарай әдіске сәйкес Лагранж функцияларының ішінара туындылары анықталады:

[pic 8]

Лагранж функциясының экстремумының қажетті шарты теңдеулер жүйесімен беріледі (жүйе "n + m" теңдеулерден тұрады):

[pic 9]

Берілген теңдеулер жүйесінің шешімі функцияның аргументтерін анықтауға мүмкіндік береді (x), онда функцияның мәні L(x, λ), сондай-ақ мақсатты функцияның мәні F(x) экстремумға сәйкес келеді.

Лагранж көбейткіштерінің шамасы (λ) шектеулер теңдеудің еркін мүшесімен (тұрақты) формада ұсынылған жағдайда практикалық қызығушылық тудырады. Бұл жағдайда [pic 10]теңдеу жүйесіндегі тұрақты мәнді өзгерту арқылы мақсатты функцияның мәнін одан әрі (ұлғайту/азайту) қарастыруға болады . Осылайша, Лагранж мультипликаторы шектеу константасы өзгерген кезде мақсатты функцияның максимумының өзгеру жылдамдығын сипаттайды.

Алынған функцияның экстремум сипатын анықтаудың бірнеше әдісі бар:

Бірінші әдіс: [pic 11]-экстремум нүктесінің координаттары, ал [pic 12] мақсатты функцияның тиісті мәні болсын. [pic 13]-нүктеге жақын [pic 14]нүкте алынады және мақсатты функцияның [pic 15]мәні есептеледі :

- Егер [pic 16] болса онда [pic 17]нүктеде максимум орын алады.

- Егер [pic 18] болса онда [pic 19]нүктеде минимум орын алады.

Екінші әдіс: экстремумның сипатын анықтауға болатын жеткілікті шарт-Лагранж функциясының екінші дифференциалының белгісі. Лагранж функциясының екінші дифференциалы келесідей анықталады:

[pic 20]

Егер берілген нүктеде[pic 21]болса, онда  f(x) мақсатты функциясы берілген нүктеде шартты минимумға ие болады, егерде [pic 22]  болса, онда f(x) мақсатты функциясы берілген нүктеде шартты максимумға ие болады.