Интегралы
Автор: HarDmitry • Апрель 30, 2023 • Контрольная работа • 791 Слов (4 Страниц) • 108 Просмотры
Вариант 10
№1. Найдите неопределенные интегралы, непосредственно интегрируя
а) [pic 1]
Решение:
[pic 2]
[pic 3]
Ответ: [pic 4]
б) [pic 5]
Решение:
[pic 6]
Ответ: [pic 7]
№2. Найти неопределенные интегралы методом подведения под знак дифференциала:
а) [pic 8]
Решение:
[pic 9]
[pic 10]
Ответ: [pic 11]
б) [pic 12]
Решение:
[pic 13]
Ответ: [pic 14]
№3. Найдите неопределенные интегралы, используя формулу интегрирования по частям
а) [pic 15]
Решение:
Формула интегрирования по частям:
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
Ответ: [pic 22]
б) [pic 23]
Решение:
Формула интегрирования по частям:
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
Отдельно находим интеграл [pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
Подставляем данный интеграл в (*)
[pic 37]
Ответ: [pic 38]
№4. Найдите неопределенные интегралы от тригонометрических функций:
а) [pic 39]
Решение:
Для преобразования подынтегральной функции воспользуемся тригонометрической формулой:
[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
Ответ: [pic 43]
б) [pic 44]
Решение:
Внесем под знак дифференциала:[pic 45]
[pic 46]
Ответ: [pic 47]
№5. Найти неопределенные интегралы:
а) [pic 48]
Решение:
[pic 49]
б) [pic 50]
Решение:
[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
Ответ: [pic 55]
№6. Найдите неопределенные интегралы от дробно-рациональных функций:
а) [pic 56]
Решение:
Разложим на множители знаменатель интеграла
[pic 57]
Представим подынтегральную функцию в виде
[pic 58]
Найдем коэффициенты и :[pic 59][pic 60]
[pic 61]
[pic 62]
[pic 63]
[pic 64]
[pic 65]
Таким образом имеем:
[pic 66]
Раскладываем исходный интеграл и решаем его:
[pic 67]
Первый интеграл:
[pic 68]
[pic 69]
Второй интеграл:
[pic 70]
[pic 71]
[pic 72]
Ответ: [pic 73]
б) [pic 74]
Решение:
Представим подынтегральную функцию в виде:
[pic 75]
[pic 76]
Находим коэффициенты и :[pic 77][pic 78]
[pic 79]
[pic 80]
Таким образом подынтегральная функция раскладывается на слагаемые:
[pic 81]
Находим искомый интеграл:
[pic 82]
[pic 83]
Ответ: [pic 84]
№7. Найдите неопределенные интегралы, применив необходимую замену переменной:
а) [pic 85]
Решение:
Выполним замену:
[pic 86]
[pic 87]
[pic 88]
[pic 89]
[pic 90]
Ответ: [pic 91]
б) [pic 92]
Введем замену:
[pic 93]
[pic 94]
[pic 95]
[pic 96]
[pic 97]
[pic 98]
Ответ: [pic 99]
№8. Вычислите определенный интеграл:
а) [pic 100]
Решение:
Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
[pic 101]
Ответ: [pic 102]
...