Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Автор: Pixelbug • Март 28, 2023 • Лекция • 1,808 Слов (8 Страниц) • 133 Просмотры
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Определение. Свойства. Признаки сходимости. Примеры с решениями.
Определение
[pic 1]
Пусть функция f(x) определена для всех x а и интегрируема на любом отрезке [a,b].
b
Если существует lim [pic 2]f (x) dx , то этот предел называется несобственным интегралом
[pic 3]
b
a
[pic 4]
функции f(x) на луче [a,b) и обозначается [pic 5]f (x) dx .
a
b
В этом случае говорят, что несобственный интеграл lim [pic 6]f (x) dx сходится, а функция f(x)
[pic 7]
b 0
a
[pic 8]
интегрируема в несобственном смысле на [a,b). Если предел при b [pic 9] не существует, то
b
интеграл [pic 10]f (x) dx называется расходящимся.
a
[pic 11]
Аналогично определяется несобственный интеграл от функции f(x), x (- ,b], с нижним бесконечным пределом интегрирования:
b b
[pic 12][pic 13]
f (x) dx = lim f (x) dx .
a
a
Несобственный интеграл с бесконечными верхним и нижним пределами интегрирования функции f(x), x[pic 14](- , ), определяется следующим образом:
[pic 15][pic 16][pic 17]
с
f (x) dx = [pic 18]f (x) dx + [pic 19]f (x) dx , где c - некоторое число.
[pic 20]
с
Основные свойства и формулы для несобственных интегралов.
[pic 21][pic 22]
а) Линейность интеграла. Если несобственные интегралы | f (x) dx , g(x) dx сходятся, то | |||||
a | a | |||||
для любых чисел M и N сходится интеграл | ||||||
[M f (x) N g(x)]dx и [M f (x) N g(x)]dx = M f (x) dx + N g(x) dx . | ||||||
a | a | a | a | |||
б) Формула Ньютона-Лейбница. Если функция f(x), a ≤ x < | , непрерывна и F(x) - какая | |||||
[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]
либо её первообразная, тоf (x) dx = F (x) | a = F(+ |
a |
в) Формула замены переменной. Пусть f(x), a ≤ x <
[pic 32][pic 33][pic 34]
непрерывной (t), причём, ( ) = a, a < (t) < lim
[pic 35]
t [pic 36]0
[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]
) - F(a), где F(+ )= lim F(x) .
[pic 41][pic 42]
x[pic 43]
[pic 44][pic 45][pic 46]
, непрерывная, (t), ≤t< , функция с
[pic 47][pic 48]
(t) [pic 49] ,
тогда | f (x) dx = | f ( | (t)) (t) dt . | ||||||
a | |||||||||
г) Формула интегрирования по частям. Если | u(x) и v(x), a ≤ x < , непрерывно | ||||||||
дифференцируемы и lim (uv) существует, то | |||||||||
x | |||||||||
u dv = (uv) | a | - | v du , где (uv) | a | = lim(uv) -u(a)v(a). | ||||
a | a | x | |||||||
b | |||||||||
Свойства а) - г) верны и для интегралов | f (x) dx и f (x) dx . |
[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]
...