Интегралы

Примеры решения задач

Задание 1. Найти неопределенные интегралы.

a);         б);[pic 1][pic 2]

в);    г)[pic 3][pic 4]

Решение:

а) Произведем замену переменной x через переменную t. Полученные выражения подставим под интеграл.

 ==[pic 5][pic 6][pic 7]

б) Разложим подынтегральное выражение через геометрическую формулу:

[pic 8]

Затем подставим под интеграл:

 =[pic 9][pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

В итоге получаем ответ:

[pic 16]

в) [pic 17]

Разложим дробь   на простейшие:

[pic 18]

Приводим правую часть к общему знаменателю:

[pic 19]

Приравниваем числители:

[pic 20]

При [pic 21]

2=4 [pic 22][pic 23]

При  [pic 24]

[pic 25]

Приравниваем коэффициенты при степени [pic 26] и вычисляем A :[pic 27]

[pic 28]

Тогда вместо исходной дроби подставляем простейшие:

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

г) [pic 32]

Задание 2. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями:

[pic 33]

Решение:

Так как то       Данная фигура является эллипсом, то[pic 34][pic 35][pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

Следовательно,

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

=.[pic 45]

Ответ: [pic 46]

[pic 47]

Задание 3.Найти  для функции [pic 48][pic 49]

Решение:

Находим частную производную первого порядка по х:

[pic 50]

[pic 51]

Находим частные производные второго порядка:

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

Задание 4. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0(x0, y0, z0).

[pic 58]

Решение:

Найдем частные производные функции

[pic 59]

 [pic 60][pic 61]

Вычислив значения в точке M0(x0, y0, z0), получим направляющий вектор нормали

[pic 62]

В соответствии с формулой

[pic 63]

найдем уравнение касательной плоскости:

[pic 64]

[pic 65]

 или     [pic 66]

На основании формулы

[pic 67]

Найдем уравнение нормали к поверхности:

[pic 68]

.[pic 69]

Задание 5. Вычислить массу тела V , ограниченного заданными поверхностями

[pic 70]

 плотность в точке   [pic 71][pic 72]

Решение: Вершина конуса находится в точке О (0,0,0) и в сечении конуса плоскостью[pic 73] z=2 получается окружность.

[pic 74]

На поверхности рассматриваемого тела   [pic 75]

[pic 76]

.[pic 77]

КОНТРОЛЬНая РАБОТА № 2

ЗАДАНИЕ 1

1-20. Найти неопределенные интегралы:

1.[pic 78]

[pic 79]

2.[pic 80]

[pic 81]

3.[pic 82]

[pic 83]

4.[pic 84]

[pic 85]

5.[pic 86]

[pic 87]

6.[pic 88]

[pic 89]

[pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

[pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

[pic 100]

[pic 101]

[pic 102]

[pic 103]

[pic 104]

[pic 105]

[pic 106]

[pic 107]

[pic 108]

[pic 109]

[pic 110]

[pic 111]

[pic 112]

[pic 113]

[pic 114]

[pic 115]

[pic 116]

[pic 117]

ЗАДАНИЕ 2

21-26. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

21.[pic 118]

22.[pic 119]