Двойные и криволинейные интегралы
Автор: karambo4ka • Сентябрь 6, 2021 • Контрольная работа • 1,293 Слов (6 Страниц) • 228 Просмотры
Вариант 1
Контрольная работа №8
Двойные и криволинейные интегралы
Задача №1. Вычислить двукратный интеграл:
[pic 1]
Решение:
Сначала вычислим внутренний интеграл, где является переменной величиной, а – постоянной. Затем полученный результат интегрируем по переменной :[pic 2][pic 3][pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
Задача №2. С помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями:
[pic 10]
Решение:
Построим фигуру, площадь которой нам нужно найти:
[pic 11]
Площадь фигуры вычисляем в декартовой системе координат по формуле:
[pic 12]
В данном случае будем интегрировать по оси :[pic 13]
[pic 14]
Найдем абсциссы точек пересечения линий:
[pic 15]
[pic 16]
Получили пределы интегрирования:
[pic 17]
Тогда площадь фигуры:
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
Задача №3. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:
[pic 22]
Решение:
Объем тела, занимающего данную область (V), можно вычислить с помощью двойного интеграла
[pic 23]
Построим тело, объем которого нужно найти. Заданное тело представлено на рисунке ниже призмой . [pic 24]
[pic 25]
Сверху тело ограничено областью – частью плоскости .[pic 26][pic 27]
Снизу тело ограничено частью параболического цилиндра .[pic 28]
Плоские боковые поверхности , , соответственно части плоскостей .[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]
Проекция данного тела на плоскость выглядит следующим образом:[pic 33]
[pic 34]
Выберем пределы интегрирования:
[pic 35]
Запишем повторный интеграл:
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
[pic 39]
Задача №4. Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль дуги кривой от точки до точки .[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]
Решение:
Сведем криволинейный интеграл к определенному:
[pic 44]
Переменная изменяется от до .[pic 45][pic 46][pic 47]
Подставляем в интеграл:
[pic 48]
[pic 49]
[pic 50]
[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
[pic 55]
Контрольная работа №9
Элементы теории поля
Задача №1. Задано скалярное поле , точка и вектор . Найти:[pic 56][pic 57][pic 58]
а) линии уровня;
б) градиент поля в точке ;[pic 59][pic 60]
в) производную по направлению вектора в точке ;[pic 61][pic 62]
г) наибольшую скорость изменения поля в точке .[pic 63][pic 64]
Решение:
а) линии уровня;
Для уравнение семейства линий уровня имеет вид:[pic 65]
[pic 66]
где – произвольная постоянная. [pic 67]
Это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом .[pic 68]
б) градиент поля в точке ;[pic 69][pic 70]
Вектором градиентом функции двух переменных является вектор:[pic 71]
[pic 72]
Найдем частные производные функции : [pic 73]
[pic 74]
[pic 75]
Тогда градиент равен:
[pic 76]
в) производную по направлению вектора в точке ;[pic 77][pic 78]
Производную функции по направлению вектора найдем по формуле:[pic 79][pic 80]
[pic 81]
где – направляющие косинусы вектора .[pic 82][pic 83]
[pic 84]
[pic 85]
Тогда:
[pic 86]
г) наибольшую скорость изменения поля в точке .[pic 87][pic 88]
Чтобы найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в точке , найдем модуль градиента скалярного поля в этой точке:[pic 89][pic 90]
[pic 91]
[pic 92]
Задача №2. Вычислить работу силового поля при перемещении вдоль дуги кривой от точки до точки по кратчайшему пути. Сделать чертеж.[pic 93][pic 94][pic 95][pic 96]
Решение:
Работа силового векторного поля находится по формуле:
...