Пределы и интегралы

Задание №1: Вычислить пределы:

[pic 1]

Для раскрытия неопределенности  разделим числитель и знаменатель на старшую степень x:[pic 2]

[pic 3]

Так как [pic 4]

1.  Первый вариант решения:

[pic 5]

Для раскрытия неопределенности воспользуемся правило : возьмем производную от числителя и знаменателя:[pic 6][pic 7]

[pic 8]

Второй вариант решения:

Так как при :  и , то можно воспользоваться заменой эквивалентными бесконечно малыми функциями:[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Подставляем в придел и имеем:

[pic 13]

[pic 14]

Преобразуем придел:

[pic 15]

Данная неопределенность подталкивает на использование второго замечательного предела:[pic 16]

Введем замену: , тогда . Так как , то .[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

Тогда:

[pic 21]

Задание №2: Найти первые производные функций:

1. [pic 22]

[pic 23]

1. [pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

Примечание: производная сложной функции берется как «матрешка»: от самой внешней к самой внутренней функции, так мы брали производную выражения . Сначала производная логарифма, затем производная аргумента.[pic 27]

Задание №3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию f(x) и построить ее график:

[pic 28]

1. Область определения: . Так как [pic 29][pic 30]
2. Так как область определения функции не симметрична относительно начала координат, то исследуемая функция не является ни четной, ни нечетной. Кроме того, она непериодична.
3. Функция обращается в нуль при   и терпит разрыв при [pic 31][pic 32]

Полученными точками область определения функции делится на три промежутка: . В каждом из которых она сохраняет определенный знак, а именно:[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

Так как в точке  функция претерпевает бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальную асимптоту . Отсутствие конечного предела означает отсутствие горизонтальных асимптот. Для отыскания асимптот найдем следующие пределы:[pic 38][pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

Таким образом, прямая  служит наклонной асимптотой графика.[pic 42]

1. Дифференцируя данную функцию, получаем:

[pic 43]

Производная обращается в нуль при , и имеет разрыв при . Этими точками числовая ось делится на 4 промежутка.[pic 44][pic 45]

[pic 46]

В точке  функция имеет максимум: [pic 47][pic 48]

В точке  функция имеет минимум: [pic 49][pic 50]

1. Дифференцируем дважды данную функцию, получаем:

[pic 51]

[pic 52]

На числовой оси укажем интервалы знакопостоянства второй производной и выпуклости функции.

[pic 53]

Точек перегиба нет, так как  точка разрыва.[pic 54]

[pic 55]

Задание №4: Найти неопределенный интеграл:

[pic 56]

Вернемся к старой переменной:

[pic 57]

[pic 58]