История введения комплексных чисел

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ                 УО «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

                                       Кафедра высшей математики

РЕФЕРАТ

                  по дисциплине: Высшая математика                                                         по теме: История введения комплексных чисел

Студент                                                                                 Е.Е.Иполитова         ФМЭО, ДАЗ-2                          (подпись)                                                                                                   (дата)

Проверил                                                                     Э.Д.Евдокименко ассистент                                    (подпись)                                                                                                   (дата)

МИНСК 2021

Современная теория функций комплексного переменного охватывает очень большую область математики. Так называют обширную и разветвленную совокупность математических дисциплин – теоретических и прикладных.                                                                                Сначала рассмотрим вопрос об истории теории функций комплексного переменного. Понятие мнимого, а затем и комплексного числа, известно в математике и используется с давних времен. Однако еще в течение очень долгого времени, несмотря на некоторые удачные мысли, относительно интерпретации мнимых и комплексных чисел, их природа не была разгадана и к ним относилась как к некоторому сверхъестественному явлению в математике.                                                                        Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.                                                        Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне.         Долгоевремяполагали, что результат измерения всегда выражается  или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом». Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками во II веке до н. э. Отрицательные числа применял в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя.                                                                                        В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.                Когда кубическое уравнение имеет один действительный корень оно решается без всяких проблем, но если оно имеет три действительных корня, то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени.                                                        В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше, чем 4, нельзя решить алгебраически.                        Долгое время отношение математиков к мнимым величинам было на грани мистики. Поражало то, что несмотря на то, что этих чисел нет, но тем не менее они формально являются настоящими решениями уравнений. Еще Лейбниц Г.В. писал, что мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа почти, что амфибия бытия с небытием. Подобные утверждения о мистических свойствах мнимых были и у других ученых.        Понадобился гений Эйлера, чтобы признать мнимые числа настоящими числами и распространить вычисление с этими числами на все разделы математики. Именно Эйлеру и принадлежит гениальная догадка о том, что комплексные числа являются алгебраически замкнутыми относительно всех алгебраических операций. То есть не существует таких алгебраических операций над комплексными числами, которые невозможно было бы сделать не выходя за рамки комплексных чисел.                                                Первое строгое доказательство этого факта сумел получить Гаусс в 1799 году. Из этого факта следуют две самые знаменитые теории математики. Это основная теорема алгебры о том, что любой многочлен степени n с комплексными корнями всегда имеет n корней, которые в общем случае также комплексные.                                                                                        И теорема в теории функций комплексного переменного, где говорится, что если мы знаем все значения такой аналитической функции на каком-то участке, то мы можем однозначно узнать все ее значения за пределами этого участка.                                                                                                Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы, считал что à × à = -à. Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил   использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа - 1 (мнимой единицы).                                                                                Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу.   Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.