Замечательные топологические пространства

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

REMARKABLE TOPOLOGICAL SPACES

И.В.МАСКАЙКИНА

I.V.Maskaykina

Уральский государственный педагогический

университет (Екатеринбург)

Науч. Рук. – Р.Ф.Мамалыга,

Кандидат педагогических наук

Аннотация: в данной статье рассмотрены топологические пространства на трехэлементном множестве, топологическое пространство «Стрелка Зоргенфрея» и «Прямая Зоргенфрея», а также описаны их свойства.

Abstract: In this article, we consider topological spaces on a three-element set, the topological space "Sorgenfrei Arrow" and "Sorgenfrei Straight Line", and also describe their properties.

Ключевые слова: топология; топологическое пространство; свойства.

Key words: topology; topological space; properties.

Топология является новейшим разделом в математике. Сейчас раздел общей топологии разработан достаточно хорошо, оформлен в книгах и учебниках Николы Бурбаки, Казимежа Куратовского, лекциях высших учебных заведений, методических пособиях.

Актуальность работы состоит в том, что при изучении данной темы были рассмотрены топологические пространства и некоторые их свойства, которые не вошли в курс топологии в ВУЗе. Объектом исследования является математическая дисциплина топология. Предметом исследования являются топологические пространства с топологией, отличной от естественной топологии на вещественнной прямой. Целью исследования является описание топологических пространств и их свойств.

1. Топология на трехэлементном множестве (). [pic 1]

Для того чтобы рассматривать топологию на трехэлементном множестве, сначала нужно определить все множества, на которых возможна топология.

Пусть . Составим всевозможные комбинации элементов a, b и c множества Х, а также самого Х и Ø. Первым очевидным множеством является комбинация множеств Х и Ø: [pic 2][pic 3]

Данное множество является топологией, т.к. аксиомы 1-3 топологического пространства [1,с.52]  очевидно выполняются.

Далее Ø и Х обязательно будут присутствовать во всех множествах для выполнения третьей аксиомы топологического пространства. Возьмем по одному элементу из  и добавим в множество Ʈ1. Получим семейство (1):[pic 4]

[pic 5]

Рассмотрим множество Ʈ2. В данном случае распишем проверку аксиом подробно. Выполнимость аксиомы 3 очевидна, т.к. Х и Ø принадлежат Ʈ2. Проверим выполнимость аксиом 1, 2: . Первая аксиома выполняется; . Вторая аксиома выполняется. Из выполнимости аксиом 1-3 топологического пространства следует, что множество Ʈ2 является топологией на трехэлементном множестве . Аналогично множества Ʈ3, Ʈ4 являются топологией на заданном множестве. Следующее семейство (2) множеств из Х:; ;  также является топологией на множестве Х аналогично предыдущему. [pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Рассмотрим такие семейства множеств как:

; ;         (3)[pic 12][pic 13][pic 14]

                (4) [pic 15]

Проверим выполнимость аксиом топологоческого пространства: для семейства множеств (3) не выполняется первая аксиома: , аналогично для семейства множеств (4). Следовательно, (3) и (4) не являются топологиями на топологическом пространстве Х.[pic 16]

Семейство (5):

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Проверим выполнимость аксиом для Ʈ8:

1. .[pic 20]
2. .[pic 21]
3. Х и Ø принадлежат Ʈ8. Следовательно, аксиомы1,2, 3 выполняются.

Из 1) – 3) следует, что Ʈ8  – топология на Х. Для Ʈ9 - Ʈ16 рассуждения аналогичны. Элементы семейства (5) являются топологией на Х.