Дифференциальные исчисления

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ

УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра компьютерных систем в управлении и проектировании

Контрольная работа №2. Дифференциальные исчисления.

Вариант 5

Томск 2021

1. Найдите производные от данных функций:

1.  , y’(0)[pic 1]
2. , y’(-2)[pic 2]
3. , y’(0)[pic 3]

Решение:

1.  , y’(0)[pic 4]

 ;[pic 5]

;[pic 6]

1. , y’(-2)[pic 7]

[pic 8]

;[pic 9]

1. ,[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

Ответ: [pic 13]

1. Дана функция  Найдите y”. Вычислите y”(1).[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Ответ:  [pic 18]

1. Дана функция . Найдите f’(x) и f’’(x). Вычислите f’() и f’’().[pic 19][pic 20][pic 21]

Решение:

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

1. Докажите, что функция  удовлетворяет уравнению [pic 26]

[pic 27]

Решение:

[pic 28]

[pic 29]

; что и требовалось доказать.[pic 30]

1. Дана функция  Найдите . Вычислите [pic 31][pic 32][pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

Ответ: 3.

1. Дана функция [pic 39]

Найдите:

1. Координаты вектора grad u в точке ;[pic 40]
2.  в точке М в направлении вектора a{4,-2,4}[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

Значит grad u [pic 49]

        Необходим орт вектора:

[pic 50]

Тогда [pic 51]

Ответ: а) (-4,-80,-40); б) ;[pic 52]

1. Найдите , если [pic 53][pic 54]

Вычислите , если [pic 55][pic 56]

        Решение:

        [pic 57]

        [pic 58]

        [pic 59]

        [pic 60]

        [pic 61]

        [pic 62]

        [pic 63]

        ;[pic 64]

        При  [pic 65][pic 66]

Ответ: -1

1. Функция  задана неявно уравнением . [pic 67][pic 68]

Вычислите:

1. [pic 69]
2. [pic 70]

Решение:

Приведем уравнение к виду: ;[pic 71]

[pic 72]

При  для определения  получаем:[pic 73][pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

[pic 78]

Ответ: ;[pic 79]

1. На графике функции  взята точка А. Касательная графику в точке А наклонена к оси ОХ под углом, тангенс которого равен 5. Найдите абсциссу точки А.[pic 80]

Решение:

[pic 81]

Исходя из геометрического смысла производной:

 таким образом [pic 82][pic 83]

Ответ: 2.

1. Найдите , если . Вычислите , если ; [pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88]

Решение:

[pic 89]

Ответ: 0,04.

1. Дана функция  и точки  и [pic 90][pic 91][pic 92]

Вычислите  и  при переходе из точки  в точку  (ответы округлить до сотых).[pic 93][pic 94][pic 95][pic 96]

Решение:

[pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

[pic 100]

[pic 101]

[pic 102]

[pic 103]

;[pic 104]

[pic 105]

[pic 106]

Ответ: [pic 107]

1. Дана функция . Найдите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке [pic 108][pic 109]

Решение:

[pic 110]

 в точке ,  не существует в точке ;[pic 111][pic 112][pic 113][pic 114]

Точки  и  – граничны.[pic 115][pic 116]