Анықталған интеграл. Анықталмаған интегралдың қолданылуы

6. Дәріс тақырыбы: Анықталған интеграл. Анықталмаған интегралдың қолданылуы

Оқу нәтижелері:

• анықталған интеграл ұғымын, қолданысынын, анықтамалар мен теоремаларды біледі;
• интегралды есептеу әдістерін, Ньютон-Лейбниц формуласын қолдану жолдарын меңгереді;
• алынған нәтижелерді туынды арқылы тексеруге икемделеді;
• есеп шығаруда интегралдың құндылығын бағалайды;
• интегралды есептеуде тиімді әдісін дұрыс таңдай, анализдеу жолын анықтай алады.

Дәріс жоспары

Жоспары:

1. Анықталған интеграл
2. Анықталған интегралдың  қасиеттері
3. Анықталған интегралдың қолданылуы

Дәріс тезисі

Анықталған интеграл

Егер [pic 1] кесіндісін бөліктеуден және [pic 2] нүктелерін таңдаудан тәуелсіз [pic 3], [pic 4] интегралдық қосындысының ақырлы шегі бар болса, онда бұл шекті f(x) функциясының [pic 5] кесіндісіндегі анықталған интегралы немесе Риман интегралы деп атайды және

[pic 6]

арқылы белгіленеді.

Егер [pic 7] болса, онда [pic 8] функциясымен, Ox осьімен және [pic 9] түзулерімен шектелген фигураның ауданы анықталған интегралдың геометриялық мағынасын береді. Осы фигураны қисық сызықты трапеция деп атайды.

Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері:

1) [pic 10];

2) [pic 11];

3) [pic 12];

4) [pic 13];

5) Егер [pic 14] болса, онда

[pic 15].

6) Егер [pic 16] болса, онда

[pic 17].

7) Егер f(x) функциясының алғашқы функциясы [pic 18]болса, онда

[pic 19]

Ньютон-Лейбниц формуласы орындалады.

Мысалдар.1.[pic 20]                           

2. [pic 21]

3.  [pic 22]

Анықталған интегралдың қолданылуы

1. Жазық фигураның ауданы. [pic 23] және [pic 24] [pic 25] үзіліссіз функцияларының графиктерімен және [pic 26] түзулерімен шектелген жазық фигураның S ауданы  

[pic 27]

арқылы есептеледі.

2. Параметрлік түрде берілген қисықпен шектелген фигураның ауданы. Егер [pic 28] - сағат тіліне қарсы бағытпен жүріп сол жағынан S ауданды фигура жасайтын C қисығының параметрлік теңдеуі болса, онда ол фигураның ауданы

[pic 29]формуласы арқылы есептеледі.

3. [pic 30] үзіліссіз қисығымен және [pic 31], [pic 32] жартылай түзулерімен шектелген сектордың S ауданы

[pic 33]

формуласы арқылы есептеледі.

4. Егер қисық [pic 34], [pic 35] арқылы берілсе және [pic 36] функциясының [pic 37] кесіндісінде үзіліссіз туындысы бар болса, онда қисықтың ұзындығы  

[pic 38]

формуласы арқылы есептеледі.

5. Дененің көлемі  [pic 39] формуласымен есептеледі.

        Мысал. у=x2 және y=[pic 40] параболаларымен шенделген фигураның ауданын табайық (1-сурет).Ол үшін бұл екі сызықтың қиылысу нүктелерінің абсциссаларын табамыз: у=x2,y=[pic 41] x1=0,  x2=1

[pic 42]

1-сурет

(1) формуласы бойынша  S(F)=[pic 43]|[pic 44] =[pic 45]

7. Дәріс тақырыбы: Көп айнымалы функциялар. Дербес туындылар. Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар

Оқу нәтижелері:

• көп айнымалы функция ұғымын, дербес туынды, аралас туындының тендігін, анықтамалар мен теоремаларды біледі;
• дербес туынды, жоғары ретті туынды мен дифференциалды есептеу әдістерін, жолдарын меңгереді;
• алынған нәтижелерді тексеру, есептеулер жүргізуге икемделеді;
• алған білімдерін жинақтау барысында өз білімдерін бағалайды;
• дербес туынды табуда тиімді әдісін дұрыс таңдай, анализдеу жолын анықтай алады.

Дәріс жоспары

1. Көп айнымалы функциялар туралы ұғымдар
2. Дербес туынды. Аралас туынды.
3. Жоғары ретті туынды мен дифференциалдар
4. Күрделі функцияларды дифференциалдау

Дәріс тезистері