Различные модели плоскости Лобачевского

Различные модели плоскости Лобачевского

Барнаул 2016

Оглавление

Введение3

Глава 1 Основные факты геометрии Лобачевского 5

1.1 Общие вопросы аксиоматики 5

1.1.1.  Понятие о математической структуре. Аксиоматический метод 5

1.1.2.  Требования, предъявляемые к системе аксиом6

1.2. Система аксиом планиметрии Лобачевского  9

1.3. Основные свойства параллельных прямых Лобачевского11

1.4. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского 19

1.5. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского 22

1.6. Понятие о сферической геометрии 28

1.7. Стереографическая проекция и  ее основные свойства30

Выводы к главе 133

Глава 2. Различные модели плоскости Лобачевского34

2.1.Геометрия Лобачевского в схеме Вейля34

2.2.Модель Кэли-Клейна 38

2.3.Модель Кэли-Клейна 41

2.4. Разработка элективного курса по геометрии в профильных классах школ с углубленным изучением математики 44

Выводы к главе 257

Заключение58

Список литературы60

Приложение63

Введение

Более двух тысяч лет назад в древней Греции впервые возникли и стали развиваться основные воззрения, относящиеся к вопросам обоснования геометрии. Это развитие привело к созданию в III в. До н.э. первой логической связанной геометрической системы величайшим геометром древности  Евклидом. Он привел в систему геометрические сведения в сочинении «Начала». Эта книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире.

Коренной перелом в геометрии впервые произвел в первой половине XIX в. великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, который создал новую, неевклидову геометрию, называемую ныне геометрией Лобачевского [12].

Лобачевский подходил к геометрии, прежде всего как естествоиспытатель и видел в геометрии науку о реальном пространстве, а не чисто логическую систему. Поэтому, важность изучение геометрии Лобачевского обусловлена, прежде всего, тем, что эта геометрия является важнейшим источником и основой развития современных идей обоснования геометрии и математики вообще. Так, современный аксиоматический метод в математике и связанные с ним методы исследования берут свое начало в творении Лобачевского. Поэтому знание геометрии Лобачевского является необходимой ступенью для изучения оснований геометрии.

Из сопоставления фактов геометрии Евклида и Лобачевского становится предельно ясной та разграничительная роль в построении геометрической системы, которую играет принятие или замена той или иной аксиомы, в данном случае аксиомы параллельности.

Отсюда понятно, насколько знание геометрии Лобачевского важно для правильного преподавания геометрии в школе. Учитель должен вводить ознакомление учащихся с геометрией Лобачевского на уроках или в внеклассных занятий.

Итак, обоснована  актуальность  исследуемой проблемы.

Объектом исследования является геометрия Н.И. Лобачевского.

Предметом исследования являются модели Кэли - Клейна и Пуанкаре (в круге) плоскости Лобачевского.

Цель исследования – установить связь между различными моделями плоскости Лобачевского.

Задачи дипломного исследования:

• Изучить и проанализировать теоретические аспекты и основные факты геометрии Лобачевского.
• Установить связь между моделями;
• Разработать методические материалы для элективного курса по геометрии;

Данная выпускная квалификационная работа отличается высокой практической значимостью. В ходе ее создания был разработан элективный курс, который может быть использованы в школе для внеклассных занятий, как средства подготовки учащихся к самообразовательной деятельности.