Решение прямой двумерной задачи МТЗ численными методами

Решение прямой двумерной задачи МТЗ численными методами

[pic 1]

Рис 1.

Система уравнений Максвелла в квазистационарном приближении имеет вид

[pic 2] ,    (1)

где [pic 3] – удельная проводимость среды, которую можно выразить через удельное сопротивление [pic 4]: [pic 5]; [pic 6] – циклическая частота, [pic 7], где [pic 8]– период; i – мнимая единица; E и H – векторные электрические и магнитные поля соответственно. Определим оператор «ротор»:

[pic 9]

Приравнивая соответствующие компоненты при ортах, получаем

[pic 10]           

[pic 11]

Аналогично, из второго уравнения (1), имеем

[pic 12]

Продифференцируем (2.2) и (2.3) по z и по y соответственно, и сложим. В итоге, добавляя (2.2) и (2.3), получим систему:

[pic 13]

Найдя Hx – сразу находим Ey и Ez. (Hx, Ey, Ez)  – H-поляризация (TM-мода).

Продифференцируем теперь (3.2) и (3.3) по z и по y, соответственно, и возьмем разность:

[pic 14]

Применим (2.1) и добавим в систему уравнения (3.2) и (3.3):

[pic 15]

Найдя Ex – сразу находим Hy и Hz. (Ex, Hy, Hz)  – E-поляризация (TE-мода)

Граничные условия для краевой задачи

Итак, в случае H-поляризации имеем неоднородное двумерное уравнение Гельмгольца

[pic 16]

Или

[pic 17]

На нижней границе на достаточно большой глубине можно задать поле Hx равным 0: [pic 18] в силу затухания поля. Так как в воздухе практически нет токов проводимости, и ток не течет из земли в атмосферу, то

[pic 19]

 откуда следует, что на поверхности земли [pic 20].

На боковых границах при достаточно большом удалении от аномальной области, полное поле приближенно равно полю в слоистой вмещающей среде, и производная поля по нормали (т.е. по [pic 21]) равна 0. Поэтому, на боковых границах области выполняются граничные условия

[pic 22]

или, что то же,

[pic 23]

Итак, имеем постановку краевой задачи:

[pic 24]                       (4)

Рассмотрим теперь E-поляризацию. Уравнение имеет вид

[pic 25]

Область рассматривается включая воздух до высоты 110-130 км. На верхней границе (там, где находится источник) поле равно постоянной величине - амплитуде плоской однородной волны, которую можно принять  за 1 (также как и в случае H-поляризации), так как при вычислении импеданса амплитуды Е и Н сократятся. Остальные краевые условия остаются теми же:

[pic 26]                 (5)          

Метод матричной прогонки

Пусть есть матричное уравнение AX=F, где A  – блочно-диагональная матрица:

[pic 27]

[pic 28]  – блоки размера mxm. [pic 29],[pic 30] – блоки размера mx1.

Распишем эту систему линейных алгебраических уравнений:

[pic 31]

Перепишем первое уравнение в виде

[pic 32]

Теперь распишем второе уравнение

[pic 33]

Таким образом, имеем

[pic 34]

И вообще, положим

[pic 35]  для [pic 36].

Тогда

[pic 37]

Остается последнее уравнение:

[pic 38]

[pic 39]

И, вынося за скобки [pic 40], имеем